1958　京都大学　全学部

【１】　$y$軸の正の向きが上に向いているとする．

(1)　放物線$y=x^2+bx+c$が$2$点$(0,1)\text{，}$$(3,3)$より下を通り，点$(1,0)$より上を通ることがあるか．

(2)　放物線$y=x^2+bx+c$が，$(0,3)\text{，}$$(3,3)$より下を通るならば，その$2$点を結ぶ線分はこの放物線と交わらないことを示せ．

【２】　次の表を利用して方程式${10}^x=x^{10}$の負根を小数第$2$位まで求めよ．小数第$3$位は四捨五入せよ．

【３】　$x+2>\sqrt{4x+7}>x-1$を満足する$x$の範囲を求めよ．

【１】　$\cos x+\cos y=0$のグラフを$x\text{，}$$y$共に絶対値$3\pi$以下の範囲でえがけ．

【２】(1)　$y=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2+1}}$から$x$を$y$の関数として表わせ．

(2)　(1)のグラフと直線$x-y-1=0$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】(1)　曲線$y=x^2$上の点で点$\mathrm{A}$$(0,a)$に最も近い点を求めよ．

(2)　最も近い点を$\mathrm{B}$とするとき，点$\mathrm{B}$における曲線の接線と直線$\mathrm{AB}$とは直交することを示せ．ただし，$a\ne 0$とする．

【１】　四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{CB}$は平行でないとする．対角線$\mathrm{AC}$上の任意の点$\mathrm{P}$から$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{CB}$へそれぞれ平行線$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$を引き$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{AB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，

(1)　$\mathrm{▵PQR}$の面積は積$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{PC}$に比例することを示せ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の面積が最大となるような，線分$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{P}$を求めよ．

【２】　球が水平面の上にあってこれに接している．この球の最も高い点$\mathrm{A}$と水平面上の任意の$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とを結ぶ直線が球面と交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とすれば，$\mathrm{▵AED}$は$\mathrm{▵ABC}$に相似であることを証明せよ．

【３】(1)　$1$直線$l$から距離$R$$\text{（}R>0\text{）}$の点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$から距離$a$$\text{（}R>a\text{）}$の点$\mathrm{Q}$をとれば，$\mathrm{Q}$と$l$との距離$x$は$R-a\leqq x\leqq R+a$を満たすことを示せ．

(2)　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$r$の円が$\stackrel{\text{とつ}}{\text{凸}}$五辺形の中にあってただ$1$辺$m$とだけ接している．円$\mathrm{O}$よりも大きい円がこの凸五辺形の中に書けることを証明せよ｡〔$\mathrm{O}$から距離$a$$\text{（}a$は小さい）の点${\mathrm{O}}^{\prime }$を中心とし，$1$辺$m$に接する円を考えよ｡〕

(3)　凸五辺形の中に含まれる最大の円が，$2$辺とだけ接する場合がある．どんな五辺形であるか，図示せよ．

《編注》(2)は資料通りだが，「$a$は$r$より小さい」が正しいか？