1960　京都大学　全学部

【１】　二円${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$に交わる二直線$l\text{，}$$l^{\prime }$を引く（$l\text{，}$$l^{\prime }$の交点は${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$の周上にないものとする）．円${\mathrm{O}}_1$と直線$l$との交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$円${\mathrm{O}}_1$と直線$l^{\prime }$との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$円${\mathrm{O}}_2$と直線$l$との交点を$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$円${\mathrm{O}}_2$と直線$l^{\prime }$との交点を${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$とする．また直線$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$は直線$\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$および$\mathrm{D}{\mathrm{D}}^{\prime }$とそれぞれ$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{L}$で交わり，直線$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$は直線$\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$および$\mathrm{D}{\mathrm{D}}^{\prime }$とそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$で交わるとする．このとき四点$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$は同一円周上にあることを証明せよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，角と辺の間に

$\sin A:\sin B=\sqrt{2}:1$

${\overline{\mathrm{AB}}}^2={\overline{\mathrm{AC}}}^2+\sqrt{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot \overline{\mathrm{AC}}$

なる関係があるとき，角$A\text{，}$$B\text{，}$$C$はそれぞれ何度か．

【３】　一辺の長さ$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$をその外心$\mathrm{O}$のまわりに角$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <120\mathrm{°}\text{）}$だけ回転したものを$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．また対応辺$\mathrm{AB}$と${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$との交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　両三角形は直線$\mathrm{OD}$に関して対称であることを証明せよ．

(2)　両三角形の共通部分は等辺六角形であることを証明せよ．

(3)　この六角形の一辺の長さを，$\theta$を使って，表わせ．

【１】　$x^3+x+2=0$のとき，$x^5-x$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面において，点$(1,1)$に関して曲線$y=x^2+bx$と対称な曲線の方程式を求めよ．

　この二曲線が異なる二点で交わるときには，$b$はどんな範囲にあるか．その二交点を通る直線が$x$軸に平行となるとき，$b$の値を求めよ．

【３】　$a>0$のとき

(A)　$x^2-x-a=0\text{，}$(B)　$x^2+ax-1=0$

はいずれも異なる二実根をもつことを証明し，次に(B)の二根のうち，ちょうど一根だけが(A)の二根の間にあることを証明せよ．

【１】　$0<a<1$のとき，$xy$平面において曲線$x=a{(y-a)}^2$と二直線$x=0\text{，}$$y=1$とでかこまれた部分の面積を$a$で表わせ．次に$a$が上の範囲$\text{（}0<a<1\text{）}$を動くとき，上の面積の最大値を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$で直交する二つの半直線$\mathrm{OX}$および$\mathrm{OY}$の上にそれぞれ定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$をとり，$\overline{\mathrm{OA}}=a\text{，}$$\overline{\mathrm{OB}}=b$とする．つぎに$\mathrm{OX}$上の動点$\mathrm{C}$と，$\mathrm{OY}$上の動点$\mathrm{D}$が$\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AB}}$なる関係をもちながら，それぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に近づくとき，$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の交点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を内分する比${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AP}}}{\overline{\mathrm{BP}}}}$はどんな値に近づくか．この極限値を$a\text{，}$$b$で表わせ．

【３】　二地点$\mathrm{A}\text{．}$$\mathrm{B}$の間に一台のバスが一定の速さで往復している．一定の速さで歩く人がこのバスと同時に$\mathrm{A}$を出発して$\mathrm{B}$に向った．バスが$\mathrm{AB}$間を$n$回往復して$\mathrm{A}$にもどったとき，人はちょうど$\mathrm{B}$に到達した．この間でバスの方が人よりも$\mathrm{B}$に近い位置にある時間と残りの時間との比を$n$で表わせ．ただし，バスは$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$につくと，すぐ引きかえすものとする．