1962　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

$a+b=1\text{，}a\sin x+b\cos x=1\text{，}a{\sin }^{2}x+b{\cos }^{2}x=1$

ならば，$a=\boxed{\text{(1)}}\text{，}b=\boxed{\text{(2)}}\text{，}x=\boxed{\text{(3)}}\mathrm{°}$である．

　ただし，$0\mathrm{°}<x<180\mathrm{°}$とする．

【２】　$x$が正の数全体をうごくとき，つぎの函数$f(x)$について，

• つねに$f(x)>0$ならば
• イ
• つねに$f(x)<0$ならば
• ロ
• $f(x)$が正にも負にもなるならば
• ハ

と$\boxed{}$の中に記せ．

(ⅰ)　$f(x)=x^3-2x^2+x+1\boxed{\text{(4)}}$

(ⅱ)　$f(x)={(x^2-5x+2)}^2-6(x^2-5x+2)+8\boxed{\text{(5)}}$

(ⅲ)　$f(x)=3(x+1)(x+2)(x+3)-{(x+1)}^3-{(x+3)}^3-{(x+3)}^3\boxed{\text{(6)}}$

(ⅳ)　$f(x)=\log (x^2-x+1)\boxed{\text{(7)}}$

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$a$を実数とする$3$つの$2$次方程式

$x^2-2ax+1=0\text{，}{x}^2-2ax+2a=0\text{，}4x^2-8ax+8a-3=0$

のうち，$1$つだけが虚根をもつような$a$の範囲は

$\boxed{\text{(8)}}<a\leqq \boxed{\text{(9)}}$と$\boxed{\text{(10)}}\leqq a<\boxed{\text{(11)}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる有理数は何か．

　半径$r$の球の表面積$S=4\pi r^2$と体積$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$との間には

$\log S=\boxed{\text{(12)}}\log V+\boxed{\text{(13)}}\log \pi +\boxed{\text{(14)}}\log 6$

なる関係がある．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　円$x^2+y^2-2x+3y-3=0$を$x$軸の正の向きに$\boxed{\text{(15)}}\text{，}y$軸の正の向きに$\boxed{\text{(16)}}$だけ平行移動すれば，円$x^2+y^2-6x+5y+\boxed{\text{(17)}}=0$となる．

【６】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　函数$f(x)=x^3+\boxed{\text{(18)}}{x}^2+\boxed{\text{(19)}}$は，$x=2$のとき極小値$1$をとり，$x=\boxed{\text{(20)}}$のとき極大になる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる有理数は何か．

　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=4$なる長方形$\mathrm{ABCD}$の内部で，点$\mathrm{A}$からの距離が$2\sqrt{2}$と$4$の間にある部分の面積は$\boxed{\text{(1)}}\pi +\boxed{\text{(2)}}(\sqrt{\boxed{\text{(3)}}}-1)$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　直線$y-5x+\boxed{\text{(4)}}=0$は円$3x^2+3y^2-2x+4y+\boxed{\text{(5)}}=0$と点$(\boxed{\text{(6)}},-1)$において接する．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$3$点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2)\text{，}\mathrm{C}(2,4)$がある．直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}(x,y)$と点$\mathrm{C}$を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },0)$とすれば$x^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}x+\boxed{\text{(8)}}}{x+\boxed{\text{(9)}}}}$である．

　また直線$\mathrm{CP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OB}$上にあって$\mathrm{PQ}:\mathrm{Q}{\mathrm{P}}^{\prime }=1:3$になるのは，$x=\boxed{\text{(10)}}$のときである．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,0)$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$\sin 3x-\sin x=\cos 3x+\cos x$を満足する$x$の値を小さい方から順に並べれば

$\boxed{\text{(11)}}\mathrm{°}\text{，}\boxed{\text{(12)}}\mathrm{°}\text{，}\boxed{\text{(13)}}\mathrm{°}\text{，}\boxed{\text{(14)}}\mathrm{°}$

である．ただし$0°\leqq x<360\mathrm{°}$とする．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

$3$直線$3x+2y-7=0\text{，}2x-6y-5=0\text{，}4x-y+3=0$

の作る三角形を$x$軸の正の向きに$\boxed{\text{(15)}}\text{，}y$軸の正の向きに$\boxed{\text{(16)}}$だけ平行移動すれば，

$3$直線$6x+4y-11=0\text{，}x-3y-13=0\text{，}4x-y+\boxed{\text{(17)}}=0$

の作る三角形が得られる．

【６】　$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}}$とする．つぎの(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)の各場合について，

$f(x)$が有限な極限値に収束するならば，その極限値を，

$f(x)$が正で限りなく大きくなるならば，イと，

$f(x)$が負で絶対値が限りなく大きくなるならば，ロと，

$\boxed{}$の中に記せ．

(ⅰ)　$x\to 3$のとき$\boxed{\text{(18)}}$

(ⅱ)　$x\to \infty$のとき$\boxed{\text{(19)}}$

(ⅲ)　$x$が$-1$より小さい値をとりながら$-1$に近づくとき$\boxed{\text{(20)}}$