1962　京都大学　文科系・理科系

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{M}$が与えられ，この三角形の周の上に両端$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をもつ線分$\mathrm{PQ}$を引いて，この線分が$\mathrm{M}$で$2$等分されるようにする．三角形$\mathrm{ABC}$のどんな部分に$\mathrm{M}$が与えられたとき，そのような線分が何本引けるか，その違いを明らかにし，理由を述べよ．

【２】(1)　$a\text{，}$$b$は$0$でない与えられた実数とする．$k$が$-1$でないどんな実数値をとっても，

円　$(k+1)(x^2+y^2)=ax+kby$

は$2$つの定点を通ることを示せ．

(2)　これらの円の中心の軌跡を$x\text{，}$$y$の方程式で表わせ．

【３】　定円$O$の内部に$2$定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{P}$はこの円周上を動いていく．$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$と$\mathrm{B}$を結ぶ$2$直線が円周とふたたび交わる点を，それぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．また，$\mathrm{Q}$から直線$\mathrm{AB}$に平行に引いた直線が円周とふたたび交わる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，直線$\mathrm{RS}$は$1$つの定点を通ることを証明せよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は与えられた正の定数で，$a<b<c$であるとする．$-\infty <x\leqq c$の範囲で三次函数

$y=x(x-a)(b-x)$

のグラフが，二次函数

$y=p{x}^2-qx$

のグラフの下側に出ないように，正の定数$p\text{，}$$q$の値を求めることができるかどうかを吟味せよ．

【５】　各点$\mathrm{P}$$(x,y)$に対して実数値$z$を定めようとするのに，二次方程式

$z^2+(a+x)z+{\displaystyle \frac{1}{4}}(x^2-y^2)=0$（$a$は正の定数）

が異なる$2$実根をもつ場合は大きい方の根の値を採ることにし，他の場合には$z$の値を定めないことにする．こうして，正の値$z$が定まるような点$\mathrm{P}$の範囲を明らかにし，この範囲をできるだけ正確に図示せよ．

【６】　条件

$\mathrm{AB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }={\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}＝p\cdot \mathrm{AC}=p\cdot {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }=p\cdot {\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}$

$\mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }+\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{″}=\pi \text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

${\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}-\mathrm{BC}=p(\mathrm{BC}-{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime })$

を満たすような$3$つの三角形$\mathrm{ABC}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}$が存在するための$p$の値の範囲を求めよ．

【５】(1)　すべての実数$x$に対して定義された函数

$f(x)=\sqrt{2}a\pi x+\cos \pi x+\sin \pi x$（$a$は正の定数）

が極値（極大値または極小値）をもつために，正の定数$a$の満たすべき条件を求めよ．

(2)　この条件が満たされているとき，曲線$y=f(x)$の上で，$f(x)$が極大値をとる点は，すべて$1$つの直線上に等間隔に並んでいることを示せ．

【６】　放物線$y=4-x^2$の第$1$象限にある部分と，この部分へ点$(a,0)$から引いた接線と$x$軸とで囲まれる範囲の面積を計算せよ．ただし，$a>2$とする．