1963　京都大学　文科系・理科系

【１】(1)　方程式$x^2-(a+c)x+(ac-b^2)=0$は実根をもつことを示せ．

(2)　上の根を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha \leqq \beta \text{）}$とし，また

$\gamma ={\displaystyle \frac{a+c}{2}}-{\displaystyle \frac{(a-c)(p^2-q^2)+4bpq}{2(p^2+q^2)}}$

とするとき，つねに$\alpha \leqq \gamma \leqq \beta$が成り立つかどうかを調べよ．

　(1)，(2)において，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$p\text{，}$$q$は任意の実数で，$p\text{，}$$q$の少なくも一方は$0$でないとする．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵DEF}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}$とし，それぞれの外接円の半径は等しく，また内接円の半径も等しいとする．そのとき$2$つの三角形は合同になるか，理由をつけて答えよ．

【３】　連立方程式

$\{\begin{array}{ll}xz=x+z^2+z& \cdots \text{①}\\ yz=y+z^2+z& \cdots \text{②}\\ z^3+y{z}^2+2z^2+xz-yz=0& \cdots \text{③}\end{array}$

を解くのに，$\mathrm{A}$君は次のようにして，$4$組の解をえた．

　この答案は正しいかどうか判定し，正しくないならば，どこをどう直せばよいか，$\mathrm{A}$君の答案に加筆訂正せよ．

　$\mathrm{A}$君の答案

$\text{①}\times y-\text{②}\times x$$(y-x)z(z+1)\mathrm{=}0$

ゆえに，(イ)$z=0\text{，}$または(ロ)$z=-1\text{，}$または(ハ)$x=y$

(イ)　$z=0$のとき，$\text{①}$によって$x=0\text{，}$$\text{②}$によって$y=0$

　ゆえに$x=0\text{，}$$y=0\text{，}$$z=0$は解の$1$つである．

(ロ)　$z=-1$のとき，$\text{①}$によって，$x=0\text{，}$$\text{②}$によって$y=0$

　ゆえに$x=0\text{，}$$y=0\text{，}$$z=-1$は解の$1$つである．

(ハ)　$x=y$のとき，$\text{③}$から$z^3+y{z}^2+2z^2=0$

　$z=0$は(イ)で既に吟味したから，$z\ne 0$とすれば，上式から

$z+y+2=0$すなわち$z=-(y+2)$

　これを$\text{②}$に代入して，

$-y(y+2)=y+{(y+2)}^2-(y+2)$

$\therefore 2y^2+6y+2=0\text{，}$すなわち$y^2+3y+1=0$

$\therefore y={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}$

$z=-(y+2)$であったから，$z={\displaystyle \frac{-7\mp \sqrt{5}}{2}}$

　ゆえに$x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}}\text{，}$$z={\displaystyle \frac{-7\mp \sqrt{5}}{2}}$（複号同順）も解である．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺上を動く点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が，時刻$t=0$にそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を出発し，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}$に向かってそれぞれ一定の速さで進んで，時刻$t=1$に$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}$に達するものとする．

(1)　その間$\mathrm{▵DEF}$の重心は動かないことを示せ．

(2)　$\mathrm{▵DEF}$の面積の最小値は$\mathrm{▵ABC}$の面積の何倍か．

【５】　$r\text{，}$$n\text{，}$$a$は正の既知数であって，$r<n$を満たし，$x$は未知数である．次の不等式を解け．

$\left|{\displaystyle \frac{r-nx}{\sqrt{nx(1-x)}}}\right|<a$

【６】　定点$(a,0)$を通る直線が定円$x^2+y^2=r^2$と$2$点で交わるとし，その$2$点における円の$2$つの接線の交点を$\mathrm{P}$とする．直線が上の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．$\text{（}r>0\text{，}$$a>0\text{）}$

【５】　与えられた三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$において，$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0=a\text{，}$$\mathrm{\angle O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1=\theta$とし，次々に相似三角形

$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$$\backsim \mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$$\backsim \cdots$$\backsim \mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$$\backsim \cdots$

を作っていく．

(1)　$n$を限りなく大きくするとき，${\mathrm{P}}_n$が定点$\mathrm{O}$に限りなく近づくための必要十分条件を$\theta \text{，}$$\alpha$で表わせ．

「(1)が成り立つとして，(2)，(3)に答えよ．」

(2)　$S=\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1+\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2+\cdots +\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}+\cdots$の値は，$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$の何倍であるか，それを$\theta$と$\alpha$で表わせ．ここに，$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$は面積を表わす．

(3)　$L={\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1+{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2+\cdots +{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}+\cdots$の値を求めよ．また$a\text{，}$$\alpha$を固定したまま，$\theta$を限りなく$0$に近づけたとき，$L$はどんな値に近づくか．

【６】　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，${\displaystyle {\int }_0^x}\cos t\mathit{dt}>2{\displaystyle {\int }_0^x}\sin t\mathit{dt}$を証明せよ．