1964　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　函数$f(x)=x^3+6x^2-15x+1$の値は$x=\boxed{\text{(1)}}$のとき極大になり，$x=\boxed{\text{(2)}}$のとき極小になる．方程式$f(x)=a$が$3$個の相異なる実根をもつような$a$の範囲は$\boxed{\text{(3)}}<a<\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる有理数は何か．

　$▵\mathrm{ABC}$において

(ⅰ)　$\angle \mathrm{BAC}=120°$

(ⅱ)　$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$

(ⅲ)　$\mathrm{BC}=\sqrt{21}$

(ⅳ)　$▵\mathrm{ABC}\text{の面積}=\sqrt{3}$

であるならば，$\mathrm{AB}=\boxed{\text{(5)}}\text{，}\mathrm{AC}=\boxed{\text{(6)}}$であり，この三角形の内接円の半径の長さは

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(7)}}(\boxed{\text{(8)}}-\sqrt{21})}}{2}}$

に等しい．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　平面上に六角形$\mathrm{ABCDEF}$があって，$\angle \mathrm{A}=100°$であり，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FA}$はそれぞれ方程式

$\begin{array}{rrl}\sqrt{3}x-y& =& 1\\ x+y& =& 4\\ y& =& 1\\ \alpha x-y& =& 14\\ x& =& 6\\ x+\alpha y& =& \beta \end{array}$

で表わされる直線上にある．ただし$\alpha \text{，}\beta$は正の定数である．このとき

$\angle \mathrm{B}=\boxed{\text{(9)}}\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{C}=\boxed{\text{(10)}}\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{D}=\boxed{\text{(11)}}\mathrm{°}\text{，}$

$\angle \mathrm{E}=\boxed{\text{(12)}}\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{F}=\boxed{\text{(13)}}\mathrm{°}$

である．　

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$f(x)$は$x$の整式，$a$は定数で，つぎの(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)が成り立つものとする．

(ⅰ)　$f(0)=-4$

(ⅱ)　$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x+a}}=2$

(ⅲ)　$x\to 2$のとき${\displaystyle \frac{f(x)}{x+a}}$は有限な$0$でない極限値$b$をもつ．

　このとき$f(x)$の次数は$\boxed{\text{(14)}}\text{，}f(x)$の$x$の係数は$\boxed{\text{(15)}}\text{，}a=\boxed{\text{(16)}}\text{，}b=\boxed{\text{(17)}}$である．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

命題(A)が成り立つような$a$の最小値は$\boxed{\text{(18)}}$，

命題(B)が成り立つような$b$の最大値は$\boxed{\text{(19)}}$，

命題(C)が成り立つような$c$の最小値は$\boxed{\text{(20)}}$

である．

(A)　$3x+4y\geqq a$ならば，必ず$x^2+y^2\geqq 1$が成り立つ．

(B)　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}3x+4y\leqq b$ならば，必ず$x^2+y^2\leqq 1$が成り立つ．

(C)　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}3x+4y\geqq c$ならば，必ず$x+y\geqq 1$が成り立つ．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　函数$f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-a|$が$x=a$で最小値をとるために必要十分な条件は

$\boxed{\text{(1)}}\leqq a\leqq \boxed{\text{(2)}}$

である．

　このときの$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{(3)}}\text{，}f(0)+f(3)$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$▵\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$が原点にあり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}},0)\text{，}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},1)$であるとする．このとき$\mathrm{C}$の$y$座標は$\boxed{\text{(5)}}$である．

　$\mathrm{G}$を中心として，$▵\mathrm{ABC}$を正の向きに$60\mathrm{°}$回転したとき，$\mathrm{C}$のうつる点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とすれば，${\mathrm{C}}^{\prime }$の$y$座標は$\boxed{\text{(6)}}$となる．

　もとの$▵\mathrm{ABC}$の外心の$y$座標は$\boxed{\text{(7)}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{(8)}}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で，函数

$f\left(x\right)=2\sin ({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})-\cos x$

は，$x=\boxed{\text{(9)}}\pi$のとき最大値$\boxed{\text{(10)}}$をとり，$x=\boxed{\text{(11)}}\pi$のとき最小値$\boxed{\text{(12)}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　図の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の距離は$l$である．点$\mathrm{A}$のまわりに毎秒${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の角速度で正の向きに回転する半直線$\mathrm{AX}$と，点$\mathrm{B}$のまわりに毎秒${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の角速度で負の向きに回転する半直線$\mathrm{BY}$とがある．時刻$t=0$のとき，これらの半直線はそれぞれ$\mathrm{AB}$および$\mathrm{BA}$の位置にあり，それから$t_0$秒経過したとき，$\mathrm{AX}\text{，}\mathrm{BY}$がはじめて平行になるとすれば，

$t_0=\boxed{\text{(13)}}$

である．

　$0<t<t_0$なる$t$に対しては，$\mathrm{AX}\text{，}\mathrm{BY}$は$1$点${\mathrm{P}}_t$で交わる．$\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{P}}_t$の距離を$f(t)$とすれば

$f(t)={\displaystyle \frac{l}{\boxed{\text{(14)}}\cos (\boxed{\text{(15)}}\pi t)+\boxed{\text{(16)}}}}$

である．ただし$\boxed{\text{(15)}}>0$とする．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまるものは，下記のイロハニの中のどれであるか．イロハニの記号で答えよ．ただし(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)で，$x\text{，}y$は実数とする．

(ⅰ)　$x+y$と$xy$とが整数であることは，$x$と$y$とが整数であるために$\boxed{\text{(17)}}$

(ⅱ)　$x+y>2\text{，}xy>1$であることは，$x>1\text{，}y>1$であるために$\boxed{\text{(18)}}$

(ⅲ)　$x=y=0$であることは，$x^2+y^2=0$であるために$\boxed{\text{(19)}}$

(ⅳ)　$x\text{，}y$を複素数とするとき，$x=y=0$であることは，$x^2+y^2=0$であるために$\boxed{\text{(20)}}$

イ　必要十分である．

ロ　必要であるが十分でない．

ハ　十分であるが必要でない．

ニ　必要でも十分でもない．