1965　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　楕円$2x^2+3y^2-1=0$と楕円$3x^2+\boxed{\text{a}}{y}^2+\boxed{\text{b}}x+\boxed{\text{c}}y+\boxed{\text{d}}=0$とは直線$x+y=1$に関して対称である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　方程式$x^2-3y^2+6x+9=0$によって表わされるグラフと方程式$x^2+y^2-2ax+a^2-1=0$によって表わされるグラフとが共有点をもつための必要十分条件は$\boxed{\text{e}}\leqq a\leqq \boxed{\text{f}}$である．共有点の個数が奇数であるような$a$の値は$\boxed{\text{g}}$個あって，それらの$a$の値のうちで最大なものは$\boxed{\text{h}}$である．

【３】　下の$\boxed{\text{i}}\text{，}\boxed{\text{l}}$にあてはまる数は何か．また$\boxed{\text{j}}\text{，}\boxed{\text{k}}$には，$<\text{，}\leqq$のどれを入れればよいか．$<$のときは1，$\leqq$のときは2と答えよ．

　不等式

${\log }_{10}{\displaystyle \frac{x+y}{m}}\geqq {\displaystyle \frac{{\log }_{10}x+{\log }_{10}y}{2}}$

が任意の正の数$x\text{，}y$に対してつねに成り立つための必要十分条件は$\boxed{\text{i}}\boxed{\text{j}}m\boxed{\text{k}}\boxed{\text{l}}$である．ただし$\boxed{\text{i}}<\boxed{\text{l}}$とする．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$f(x)=\mathrm{Max}\{|x-3|,-x^2+8x-11\}$とする．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{m}}$である．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq 6$における$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{n}}$である．

(ⅲ)　$3\leqq x\leqq 6$において$f(x)$を最小にする$x$に最も近い整数は$\boxed{\text{o}}$である．

(ⅳ)　$0\leqq x\leqq 6$で$f(x)=3$を満たす$x$は$\boxed{\text{p}}$個ある．

　ただし$2$つの実数$a\text{，}b$のうち小さくない方を$\mathrm{Max}\{a,b\}$と書く．すなわち

$b\geqq a$のとき$\mathrm{Max}\{a,b\}=b$，

$a\geqq b$のとき$\mathrm{Max}\{a,b\}=a$

である．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$k$を$0$または正の整数とする．右図の$9$個の空欄に$0$または正の整数を記入して，横および縦に加えたものがそれぞれの欄外に付記した値（$k\text{，}1\text{，}1$および$k\text{，}1\text{，}1$）になるような表をつくる．このようにしてできる表の個数を$a_k$で表わせば，$a_0=\boxed{\text{q}}\text{，}{a}_1=\boxed{\text{r}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{s}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{t}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　点$(-1,1)$を通る直線$2x+\boxed{\text{a}}y+\boxed{\text{b}}=0$を$x$軸方向に$1\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{c}}$だけ平行移動した後，さらにこれを$x$軸に関して対称に折り返して得られる直線$2x-3y+\boxed{\text{d}}=0$は点$(3,3)$を通る．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を未知数とする連立一次方程式

$\begin{array}{rrrrr}x& -y& +z& +\boxed{\text{e}}w& =a\\ x& -y& +\boxed{\text{f}}z& -w& =b\\ -x& +y& -z& +w& =c\\ \boxed{\text{g}}x& -y& +z& -w& =d\end{array}$

は

(ⅰ)　$a=1\text{，}b=0\text{，}c=0\text{，}d=0$のときは解をもたない．

(ⅱ)　$a=0\text{，}b=1\text{，}c=0\text{，}d=0$のときは解をもたない．

(ⅲ)　$a=0\text{，}b=0\text{，}c=\boxed{\text{h}}\text{，}d=0$のときは$xyzw\ne 0$となる解をもつ．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

の値が$x=a$で極大になるとすれば，$a=\boxed{\text{i}}\text{，}f(a)=\boxed{\text{j}}$である．点$(a,f(a))$を通る傾き$m\text{（}m\ne 0\text{）}$の直線と曲線$y=f(x)$との交点は$\boxed{\text{k}}$個ある．それらの交点のうちで$x$座標が最大なものの$x$座標は$m$の座標で，これを$h(m)$で表わせば

$\underset{m\to \infty }{\lim }h(m)=\boxed{\text{l}}$

となる．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　不等式

${\log }_2\{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\}<{\log }_4\{{(x-1)}^2{(x-2)}^2{(x-3)}^2{(2x-3)}^2\}$

が成り立つような実数$x$の範囲は

$x<\boxed{\text{m}}\text{，}\boxed{\text{n}}<x<\boxed{\text{ｏ}}\text{，}\boxed{\text{p}}<x$

である．

【５】　下の命題$\mathrm{q}\text{，}\mathrm{r}\text{，}\mathrm{s}\text{，}\mathrm{t}$について

必ず成り立つものには　1，

必ずしも成り立たないものには　2

と答えよ．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は実数とする．

$\mathrm{q}$　どのような正の数$x\text{，}y$をとってもつねに$\alpha x+\beta y>0$が成り立つならば$\alpha >0$かつ$\beta >0$である．

$\mathrm{r}$　どのような負でない実数$x\text{，}y$をとってもつねに$\alpha x+\beta y\geqq 0$が成り立つならば$\alpha \geqq 0$かつ$\beta \geqq 0$である．

$\mathrm{s}$　ある正の数$x$が存在してすべての正の数$y$に対して$\alpha x+\beta y>0$が成り立つならば$\beta >0$である．

$\mathrm{t}$　ある正の数$x\text{，}y$が存在して$\alpha x+\beta y>0$が成り立つならば$\alpha >0$または$\beta >0$である．