1965　東京大学　2次試験MathJax

1965-10261-0201

1965　東京大学　2次試験

文科・理科共通

易□　並□　難□

【１】　ある都市で $A ， B ， C 3$ 種類の新聞が発行されている．その都市の世帯で

$A$ を購読しているものの割合は $69 %$ ，

$B$ を購読しているものの割合は $46 %$ ，

$C$ だけを購読しているものの割合は $3 %$ ，

$B ， C$ の両方を購読しているものの割合は $21 %$ ，

$A ， C$ の少なくとも一方を購読しているものの割合は $88 %$ ，

$B ， C$ の少なくとも一方を購読しているものの割合は $50 %$ ，

$A ， B ， C$ のうちどれか $1$ 種類だけを購読しているものの割合は $61 % ，$

である．このとき，

(1)　 $A$ だけを購読しているものの割合，

(2)　 $B$ だけを購読しているものの割合，

(3)　 $A ， B ， C$ すべてを購読しているものの割合，

(4)　 $A ， B ， C$ のどれも購読していないものの割合

を求めよ．

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文科

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【２】　 $A ， B ， C$ を $3$ つの山頂とする． $A$ から見ると， $C$ は真北より東 $10 °$ の方向にあって仰角 $15 °$ であり， $B$ から見ると， $C$ は真北より西 $20 °$ の方向にあって仰角 $30 °$ である．また $B$ から $A$ を見る仰角は $30 °$ である． $A ， B$ の高さがそれぞれ海抜 $1600 m ， 1210 m$ であるとすれば， $C$ の高さは海抜何メートルか． $\sqrt{3} = 1.732$ として計算し， $1 m$ 未満は四捨五入せよ．

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文科・理科共通

易□　並□　難□

【３】　直線 $l$ は双曲線 $x y = 1$ の第 $1$ 象限にある部分に接し， $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $2$ より小さくないとする．この条件のもとで $l$ が変動するとき， $4$ 直線 $l ， y = 0 ， x = 1$ および $x = 2$ で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ．

1965-10261-0204

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文科・理科共通

易□　並□　難□

【４】　右図において $ACB$ は長さ $2$ の線分 $AB$ を直径とし， $O$ を中心とする半円周， $P$ は $AB$ に垂直な半径 $OC$ 上の動点とする．

　 $k$ を正の定数とし，線分 $PO$ を $k : 1$ に内分する点 $Q$ を通って $AB$ に平行な弦を $RS$ とすれば， $P$ をどこにとったとき四辺形 $ROSP$ の面積が最大になるか．

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文科

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【５】　右の図のように， $1$ 平面上に半径の長さ $1$ の円 $O$ と $1$ 辺の長さ $4$ の正三角形 $ABC$ がある．点 $P$ は円内の任意の点を動き，点 $Q$ は正三角形の周上を動くとする．

　このとき線分 $PQ$ の中点 $R$ の動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

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理科

易□　並□　難□

【５】　曲線 $y = 3 \sin 2 x + \cos 3 x$ の $0 < x < π$ の範囲にある部分の接線のうち，直線 $3 x + y = 0$ に平行なものの方程式を求めよ．

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理科

易□　並□　難□

【６】　右の図は半径の長さ $1$ の半円で，弦 $AP ， AQ$ と直径 $AB$ とのつくる角はそれぞれ $30 ° ， 60 °$ である．このとき，弦 $AP ， AQ$ と円弧 $PQ$ とで囲まれる部分を直径 $AB$ のまわりに $1$ 回転して得られる立体の体積を求めよ．

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