1966　京都大学　文科系・理科系

【１】　方程式$x^3+x-8=0$は

(1)　ただ$1$つの実根を，$1$と$2$との間にもつことを示せ．

(2)　この根は無理数であることを証明せよ，

【２】(1)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$が与えられている．この中に最大面積の三角形$\mathrm{PQR}$がはいっている．$\mathrm{▵PQR}$の位置について，次のことを証明せよ．

(イ)　頂点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の周上にある．

(ロ)　$\mathrm{▵PQR}$の少なくとも$1$辺は，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$1$辺と一致する．

(2)　面積が$1$の三角形は，面積が$2$より小さい平行四辺形の中には，はいらないことを証明せよ，

【３】　平地に$3$本のテレビ塔がある．ひとりの男がこの平地の異なる$3$地点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に立って，その先端を眺めたところ，どの地点でもそのうちの$2$つの先端が重なって見えた．このとき$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は一直線上になければならない．この理由を述べよ．

【４】　平面上で，距離$a$の$2$定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を始点とする単位ベクトル（大きさが$1$のベクトル）$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$がそれぞれ始点のまわりに同じ向きに回転運動をなし，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$の$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$から測った回転角はそれぞれ$2\theta \text{，}$$\theta$である．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の大きさの最大値を$a$で表わせ．

【５】　$f(x)=x^3-6x^2+8$とし，$0\leqq x\leqq r$における$|f(x)|$の最大値を$M(r)$とするとき，積分

${\displaystyle {\int }_0^5}M(r)\mathit{dr}$

を求めよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}=\alpha$は鋭角，$\mathrm{AB}=2\mathrm{AC}$とし，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=\delta$とする．そのとき

(1)　等式$\sin (\alpha -\delta )=2\sin \delta$を示せ．

(2)　不等式$3\delta <\alpha <4\delta$を証明せよ．

【５】　$a>1$とし，$u=a^{x+y}\text{，}$$v=a^{2x-y}$とおく．$x\text{，}$$y$平面上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$が正方形$\mathrm{ABCD}$の周に沿って$1$周するとき，$u\text{，}$$v$平面上で対応する点$\mathrm{Q}$$(u,v)$がえがく軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1,-1)$とする．

【６】　正$n$角形の頂点を順次${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$とする．

(1)　これらのうちの任意の$3$点を結んでできる三角形の総数を求めよ．

(2)　上の三角形のうちで鋭角三角形になるものの総数を求めよ．