1967　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる言葉を下の1，2，3，4の中から選び，その記号1，2，3，4で答えよ．

　“$a<b$である”ために

(1)　“$a<x$と$x<b$とを満足する$x$がある”ことは$\boxed{}$．

(2)　“$a\leqq x$と$x\leqq b$とを満足する$x$がある”ことは$\boxed{}$．

(3)　“$x<a$を満足する$x$はすべて$x<b$を満足する”ことは$\boxed{}$．

(4)　“$x\leqq a$を満足する$x$はすべて$x<b$を満足する”ことは$\boxed{}$．

1　必要でも十分でもない

2　必要かつ十分である

3　必要であるが十分でない

4　十分であるが必要でない

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　点$(-1,3)$を通る放物線$y=x^2+\boxed{}x+\boxed{}$と，点$(2,6)$を通る放物線$y=x^2+\boxed{}x+\boxed{}$とは，直線$x=1$に関して対称である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　関数$f(x)=x^4-4x^3-x^2+6x+3$の最小値は$\boxed{}$である．方程式$f(x)=0$は$\boxed{}$個の正根と$\boxed{}$個の負根をもつ．最小の実根にもっとも近い整数は$\boxed{}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる言葉を，下の1から9までの中から選び，その記号1，2，3などで答えよ．

　点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が次の式で与えられている．

$x=a{\cos }^2\alpha +b\cos \alpha \cos \beta +c{\sin }^2\alpha$

$y=b\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta$

　$\alpha \text{，}\beta$がすべての実数をとって動くとき，点$\mathrm{P}$の動く範囲の形は

(1)　$a=1\text{，}b=0\text{，}c=1$のとき$\boxed{}$である．

(2)　$a=1\text{，}b=0\text{，}c=-1$のとき$\boxed{}$である．

(3)　$a=0\text{，}b=1\text{，}c=0$のとき$\boxed{}$である．

(4)　$a=1\text{，}b=0\text{，}c=0$のとき$\boxed{}$である．

注　ここでいう円とは，円周とその内部の点とを合わせたものである．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　一定の角速度で円運動をしている点があり，$8$秒間で$1$回転する．いまこれを静止させるために制動を与えて，角速度を毎秒${\displaystyle \frac{\pi }{96}}$（弧度／秒）の割合で減少させると，静止するまでに$\boxed{}$秒かかり$\boxed{}$回転する．また，ちょうど$1$回転して静止させようとすれば，角速度を毎秒${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{}}}$（弧度／秒）の割合で減少させればよい．なお，そのとき，静止するまでに$\boxed{}$秒かかる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　関係式

(1)　$\{\begin{array}{l}x=\boxed{}u+5v\\ y=4u+\boxed{}v\end{array}$

を満たす数$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v$は，必ず

(2)　$\{\begin{array}{l}u=\boxed{}x-5y\\ v=\boxed{}x+3y\end{array}$

を満たし，また逆に，(2)を満たす数$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v$は，必ず(1)をも満たす．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる実数は何か．

　複素数$z$が実数$x\text{，}y$を用いて$z=x+iy$（$i$は虚数単位）と表わされるとき，$z$の絶対値$|z|$は$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$によって与えられる．いま，条件$2|z-3-3i|=|z|$を満足するあらゆる複素数$z$のうちで$|z|$が最大であるものを$z_1\text{，}|z|$が最小であるものを$z_2$で表わせば

$z_1=\boxed{}+i\boxed{}\text{，}{z}_2=\boxed{}+i\boxed{}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数字は何か．

　${(0.99)}^{10}$の小数第$1$位は$\boxed{}\text{，}$第$2$位は$\boxed{}\text{，}$第$3$位は$\boxed{}\text{，}$第$4$位は$\boxed{}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　放物線$y=\boxed{}{x}^2$の上の異なる$2$点$(\boxed{},3)$と$(4,\boxed{})$とにおける接線は点$(\boxed{},-6)$で交わる．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる言葉を下の1から12までの中から選び，その記号1，2，3などで答えよ．

　平面を$x$軸，$y$軸と円$x^2+y^2=1$とによって$8$個の部分に分け，各部分を図のように$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$と名づける．ただし，これらの部分は境界上の点を含まないものとしておく．

　点$(x,y)$が$\mathrm{B}$の部分全体を動くとき

(1)　点$(-y,x)$は$\boxed{}$．

(2)　点$({\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}},{\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2}})$は$\boxed{}$．

(3)　点$({\log }_{10}{\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}},-{\displaystyle \frac{y}{x}})$は$\boxed{}$．

(4)　点$(2^{-x}\cos y,2^{-x}\sin y)$は$\boxed{}$．

1　$\mathrm{A}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

2　$\mathrm{B}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

3　$\mathrm{C}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

4　$\mathrm{D}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

5　$\mathrm{E}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

6　$\mathrm{F}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

7　$\mathrm{G}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

8　$\mathrm{H}$にはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

9　$\mathrm{A}$にも$\mathrm{E}$にもはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

10　$\mathrm{B}$にも$\mathrm{F}$にもはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

11　$\mathrm{C}$にも$\mathrm{G}$にもはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．

12　$\mathrm{D}$にも$\mathrm{H}$にもはいるが，その他の文字で表わされた部分にははいらない．