1967　京都大学　文科系・理科系

【１】(1)　$x$についての方程式

$x(x-3)(x+3)+3k(x-1)(x+1)=0$$\text{（}k>0\text{）}$

は$3$実根をもつことを証明せよ．

(2)　上の方程式の正の根はただ$1$つで，$1$と$1+{\displaystyle \frac{2}{k}}$との間にあることを証明せよ．

【２】　複素数$Z=x+iy$（$x\text{，}$$y$は実数，$i$は虚数単位）が次の(1)または(2)を満たすように，$x\text{，}$$y$を定めよ．

(1)　$Z^2＝i$

(2)　$Z^2-4iZ+(-4+2i)=0$

【３】　次の$\boxed{}$の中に適当な数または式を入れよ，また(イ)〜(ホ)の「  」で囲まれた文章の理由を，最後の(イ)〜(ホ)の解答のところで述べよ．

　方程式

$x^2-3y^2=1\cdots \text{①}$

を満たす整数の組$(x,y)$を求めることを考える（以下この方程式の整数解を単に解と略称する）．

　準備のために次のことを確かめておく．

(イ)「$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が整数であって，$a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3}$ならば，$a=c\text{，}$$b=d$である．」

　次に$(x,y)$が解であれば，$(x,-y)\text{，}$$(-x,y)\text{，}$$(-x,-y)$も解であることは，方程式$\text{①}$により明らかであるから，$(x,y)$がともに負でない解を求めることが基本的である．それで，そのような解を求める手段として

${(2+\sqrt{3})}^n=x_n+y_n\sqrt{3}\cdots \text{②}$

（$x_n\text{，}$$y_n$は負でない整数，$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$

とおく．そうすると(イ)によって

$x_0=1\text{，}$$y_0=0\text{，}$$x_1=2\text{，}$$y_1=1\cdots \text{③}$

$x_2=\boxed{}\text{．}$$y_2=\boxed{}\text{，}$$x_3=\boxed{}\text{．}$$y_3=\boxed{}$

である．

　一方，${(2+\sqrt{3})}^2$と${(2-\sqrt{3})}^2\text{，}$${(2+\sqrt{3})}^3$と${(2-\sqrt{3})}^3$などを比較することによって，一般に

${(2-\sqrt{3})}^n=x_n-y_n\sqrt{3}\text{，}$$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{④}$

であることがわかる．

　$\text{②}$と$\text{④}$と，$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$とを使って

$1={(2+\sqrt{3})}^n{(2-\sqrt{3})}^n={x_n}^2-3{y_n}^2$

となるから，$\text{②}$で定まる$(x_n,y_n)$は方程式$\text{①}$の解であることがわかる．とくに，$x\text{，}$$y$の一方が$0$となるような負でない解は，明らかに$x=1\text{，}$$y=0$で，それは$\text{③}$の$(x_0,y_0)$に外ならない．

　次に$(x_{n-1}，y_{n-1})$と$(x_n,y_n)$との関係を求めてみる$\text{（}n\geqq 1\text{）．}$

$x_n+y_n\sqrt{3}={(2+\sqrt{3})}^n$

$=(x_{n-1}+y_{n-1}\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$

$=\boxed{}$

ゆえに，

$x_n=\boxed{}\text{，}$$y_n=\boxed{}$

したがって$(x_0,y_0)$から出発して，負でない解$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2.y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_n,y_n)\text{，}$$\cdots$を順次求めて行くことができる．しかも$y_1<y_2<y_3<\cdots$である．

　以上のことで負でない解を多数みつけたのであるが，これらで負でない解が尽くされているかどうかを次に吟味する．

　いま任意の正の解$(x,y)\text{，}$$\text{（}x>0\text{，}$$y>0\text{）}$をとると

$(x+\sqrt{3}y)(2-\sqrt{3})=(2x-3y)+(2y-x)\sqrt{3}$

(ロ)「$x^{\prime }=2x-3y\text{，}$$y^{\prime }=2y-x$とおくとき，$(x^{\prime },y^{\prime })$も解である．」

(ハ)「そして，$x>x^{\prime }>0\text{，}$$y>y^{\prime }\geqq 0$である．」

(ニ)「それで，任意の正の解$(x,y)$から出発して，(ロ)における$(x^{\prime },y^{\prime })$を求める操作を順次行なうことによって，$\text{③}$に示す負でない解$(x_0,y_0)$に達する．」

(ホ)「したがって，任意の負でない解$(x,y)$は式$\text{②}$によって定まる$(x_n,y_n)$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$のどれか$1$つである．」

【４】　以下は平面内の問題である．$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は定点で，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は一直線上にないものとする．

(1)　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるための必要十分条件は

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$a+b=1$（$a\text{，}$$b$は実数）

とかけることである．これを証明せよ．

(2)　次の$2$条件を満たす実数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は$p=0\text{，}$$q=0\text{，}$$r=0$以外にないことを示せ．

$\{\begin{array}{l}p\overrightarrow{\mathrm{OA}}+q\overrightarrow{\mathrm{OB}}+r\overrightarrow{\mathrm{OC}}=0\text{（零ベクトル），}\\ p+q+r=0\end{array}$

(3)　$\mathrm{Q}$がこの平面上の点であって，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$x\text{，}$$y$は実数）であるとき

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=l\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}+n\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\ l+m+n=1\end{array}$

を満たす実数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$は必ず存在し，しかもおのおのの値はただ$1$つに定まることを証明せよ．

【５】　平面内の$1$点$(a,b)$から曲線$y=x^2$に何本の接線が引けるか．

【６】　$3$人乗りのボートが$2$つある．$4$人の人をそれらに分乗させるしかたがいく通りあるか，次のおのおのの場合に求めよ．

(1)　人るボートも区別しないで，人数の分け方だけを考えるとき，

(2)　人は区別しないが，ボートは区別するとき，

(3)　ボートも人も区別を考えるが，どの座席につくかは区別しないとき，

(4)　ボートも区別し，どの人がどの座席につくかも区別するとき．

【３】　双曲線${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$上の$1$点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)$$\text{（}{x}_1>0\text{，}$$y_1>0\text{）}$をとる．この双曲線の$\mathrm{P}$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，座標の原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$x_1$を用いて表わせ．

(2)　$x_1\to +\infty$のとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積の極限値を求めよ．

【６】　$2$つの関数

$y_1={\displaystyle \frac{\pi }{4}}{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+1$と$y_2=\sqrt{2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}x$

とのグラフを考える．

(1)　この$2$つのグラフは，$0<x\leqq 1$の範囲では，点$(1,1)$以外に交点がないことを次の方針で示せ．

$y_3={\displaystyle \frac{\pi }{4}}(1-x)+1$

を$0<x\leqq 1$の範囲で考えると，$y_1\geqq y_3\geqq y_2$であり，等号は$x=1$のときに限り成立する．

(2)　範囲$0\leqq x\leqq 1$において，$y_1$のグラフ，$y_2$のグラフ，$y$軸，直線$y={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+1$で囲まれた部分の面積を求めよ．