1968　東京大学　2次試験MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の内部に点$\mathrm{P}$をとって，$\angle \mathrm{APB}\text{，}\angle \mathrm{BPC}\text{，}\angle \mathrm{CPD}\text{，}\angle \mathrm{DPA}$がいずれも${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$をこえないようにするとき，点$\mathrm{P}$のうごき得る範囲の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}$ととなりあわない頂点とする．

注)　「ただし，」以降は補足か

【２】　正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{V}$を頂点とする正$4$角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$において，底面と斜面のなす二面角が$45°$のとき，となりあう$2$つの斜面のなす二面角を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}\beta$は与えられた実数とする．$x$の$2$次式$f(x)=a{x}^2+bx+c$の係数$a\text{，}b\text{，}c$が$a+b+c=0$なる関係式を満たしながら動くとき，座標$(f(\alpha ),f(\beta ))$をもつ点の全体は，平面上のどんな集合になるか．

【４】　次の条件を満たす$3$次の多項式$f(x)$を求めよ．

【５】　平面上の点$(a,b)$の，直線$2x-y=p$に関する対称点をとり，次にこれを原点を中心として正の向きに$90°$回転し，さらに直線$x+2y=q$に関する対称点をとると，はじめの点$(a,b)$に一致する．このとき$p\text{，}q$を用いて$a\text{，}b$を表わせ．

【１】　平面上の点$(x,y)$で

$x^2-5x<y<{\displaystyle \frac{\pi }{5}}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi x}{5}}\right)-{\displaystyle \frac{3}{5}}{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi x}{5}}\right)$

を満たす範囲が，直線$y=\alpha x$によって面積の等しい$2$つの部分に分けられるように，$\alpha$の値を定めよ．

【４】　$(x,y,z)$を空間の直交座標とし，点$(1,0,0)$を通り$z$軸に平行な直線$l$とする．$yz$平面内にあって$y=1-z^2$で表わされる曲線の$-1\leqq z\leqq 1$なる部分を，直線$l$のまわりに回転してできる曲面と，平面$z=1$および$z=-1$とによって囲まれた部分の体積を求めよ．

【５】　整数を係数とする次数$3$の多項式$P(x)$で，次の条件を満たすものを求めよ．

(1)　$P(x)$のグラフは原点に関して対称である．

(2)　$P(x)=0$は重根をもたない．

(3)　$P(x)$は極大値も極小値ももたない．

(4)　$P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$は整数である．

(5)　$0<P(1)<6$である．

【６】　次の問(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　$\alpha$が$0<\alpha <1$を満たす有理数ならば，区間$0\leqq x\leqq 1$の上で不等式

$1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}x\leqq {(1+x)}^{\alpha }$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$2^{200}$のけた数はいくつか．またその最上位の数は何か．その理由を述べよ．

注1.　たとえば$2^{10}=1024$のけた数は$4\text{，}$最上位の数は$1$である．なおこの数が${10}^3$に近いことに注意せよ．

注2.　${\log }_{10}2\doteqdot 0.3010$であるが，この数値を証明に用いてはならない．

(ⅲ)　$0.300<{\log }_{10}2<0.302$であることを示せ．