1968　京都大学　文科系・理科系

【１】　次の$5$つの命題のうち，正しいものには$\boxed{}$の中に◯印をつけて，証明せよ，また，正しくないものには$\boxed{}$の中に×印をつけて，理由を示せ．

$\boxed{}$(1)　$2$実数$a\text{，}$$b$について$a=b$ならば，$a\leqq b$である．

$\boxed{}$(2)　どの$3$点も一直線上にはない$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$について

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{0}$（零ベクトル）

はけっして成立しない．

$\boxed{}$(3)　$3$つの集合$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$について，$\mathrm{A}\subset \mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}\subset \mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{C}\subset \mathrm{A}$という関係があれば，$\mathrm{A}=\mathrm{B}=\mathrm{C}$である．

$\boxed{}$(4)　$n>4$である自然数$n$について，$n^2<2^n$が成立する．

$\boxed{}$(5)　自然数の逆数全体の集合$\{1,{\displaystyle \frac{1}{2}},\cdots ,{\displaystyle \frac{1}{n}},\cdots \}$において，最小数は$0$である．

【２】　各辺の長さが$20\mathrm{m}\text{，}$$22\mathrm{m}\text{，}$$24\mathrm{m}\text{，}$$26\mathrm{m}\text{，}$$28\mathrm{m}\text{，}$$30\mathrm{m}\text{，}$$32\mathrm{m}\text{，}$$34\mathrm{m}\text{，}$$36\mathrm{m}$のいずれかである三角形は，いく種類あるか，ただし，合同な三角形は同じ種類と考える．

【３】　$m\leqq l$である$2$数$l\text{，}$$m$に対して，不等式$m\leqq x\leqq l$を満たすすべての数$x$の集合$S$が

条件：「$x$が$S$に属しているときには，$x^2$もまた$S$に属している」を満たすとする．このとき

(1)　$0\leqq l\leqq 1$であることを示せ．

(2)　$m=1\text{，}$または$m\leqq 0$であることを示せ．

(3)　$m=1$であるとき，$S$はどのような集合か．

(4)　$m\ne 1$であるとき，与えられた数$l$$\text{（}0\leqq l\leqq 1\text{）}$に対して，$m$のとりうる値の範囲を定めよ．

【４】(1)　平面$p$上にない$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が，$p$に関して反対側にある．$p$が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$から等距離にあるとき，$p$は線分$\mathrm{AB}$の中点を通ることを示せ．

(2)　同じ平面上にない点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がある．これら$4$点から等距離にある平面は，いくつあるか．

【５】　$x$の関数$f(x)=2x^3+3x^2+2x-2$を考える．

(1)　$f(i-1)=0$（$i$は虚数単位）となることを用いて，$3$次方程式$f(x)=0$の根を求めよ．

(2)　複素平面上で，$2$次方程式$f^{\prime }(x)=0$の$2$根は，$f(x)=0$の$3$根を頂点とする三角形の内部にあることを示せ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数を表わす．

【６】　$x$の関数$y=x^3$と，$y=a{x}^2+bx+c$$\text{（}a<0\text{）}$のグラフが，点$(1,1)$で接し，さらに，これら$2$つのグラフと$y$軸とで囲まれた$x\geqq 0$の部分の面積が$1$である．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{CD}$は平面$\mathrm{ABC}$に垂直である．$\mathrm{\angle ACB}$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \mathrm{\angle ACB}<\pi$を満たすならば，$\mathrm{\angle ADB}<\mathrm{\angle ACB}$となることを示せ．

【５】　放物線$y=x^2$の上に，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{3}{2}}$とする．この放物線上の任意の点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とするとき，${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$を$x$の関数として表わし，この関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べて，グラフの概形をかけ．

【６】　$0<x<1$である数$x$に対して

${\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\sqrt{1-t}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y}}}$

を満たす$y$は，$x$の増加関数であることを示せ，さらに極限値$\underset{x\to 1}{\lim }y$を求めよ．