1969　京都大学　文科系・理科系

【１】　次の各式は$3$角関数についての公式である．(1)〜(4)から，(5)〜(7)を導け，

(1)　$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$

(2)　$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$

(3)　$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

(4)　$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

(5)　$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

(6)　$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}$

(7)　$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}$

【２】　右図のように長方形$\mathrm{ABCD}$の外側に，$2$つの半円をつけた形の，トラック$\mathrm{AMBCND}$を作るのに，その周囲が$400\mathrm{m}\text{，}$内部の面積が$7000{\mathrm{m}}^2$であるようにしたい．線分$\mathrm{AB}$の長さを，どれだけにすればよいか．円周率は${\displaystyle \frac{22}{7}}$として計算せよ．

【３】　${18}^n>{10}^{100}$となるような自然数$n$のうち最小のものを求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$として計算せよ．

【４】　複素平面において，$0\text{，}$$1$を表わす点を，それぞれ$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{A}}_1$とするとき，${\mathrm{A}}_1$を$1$頂点とし，$\mathrm{O}$を中心（対称の中心）とする正$n$辺形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$を考える．頂点${\mathrm{A}}_k$が表わす複素数$Z_k$をとれば，${(Z_k)}^n=1$であることを示せ（$n$は自然数で，$n\geqq 3$とする）．

【５】　ある小学校では，各学年の生徒数がちょうど$100$人ずつであった．各学年から$1$人ずつ代表を出し，それら代表$6$人のうち，$2$人が赤旗を，他の$2$人が白旗を，残りの$2$人が青旗をもつものとする．

　このような旗のもち方の数を求めよ（代表の出し方が異なれば，異なったもち方であると考えるのは，もちろんである）．

【６】　次の(1)〜(5)のおのおのについて，(ⅰ)それが正しければ〇を，正しくなければ×を，左側の$\boxed{}$の中に入れ，(ⅱ)×をつけたものについて，下線の部分を適当に訂正して，正しいものにせよ，さらに(ⅲ)問題の後の余白に，おのおのについての理由を簡単に述べよ．

$\boxed{}$(1)　${\displaystyle {\int }_1^3}{x}^4\mathit{dx}=\underset{‾}{242}$

$\boxed{}$(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{9}{{10}^n}}={\displaystyle \frac{9}{10}}+{\displaystyle \frac{9}{{10}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{9}{{10}^n}}+\cdots =\underset{‾}{1}$

$\boxed{}$(3)　平面において，合同な正$n$辺形を，互いに重ならないように並べて，平面を埋めつくすことができるのは，$n$$\underset{‾}{=3\text{，}4\text{のときだけである．}}$

$\boxed{}$(4)　$f(x)$が変数$x$の多項式であって，$x$の実数値$a$において，導関数${\displaystyle \frac{df(x)}{\mathit{dx}}}$の値が$0$になれば，関数$f(x)$は$x=a$において，$\underset{‾}{\text{極大または極小になる}}$．

$\boxed{}$(5)　「$x=0\text{，}$$y=0$」の否定は「$\underset{‾}{x\ne 0\text{，}y\ne 0}$」である．

【１】　実数係数の$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$について，次のことを証明せよ．

(1)　実数係数の範囲での因数分解を考えれば，$f(x)$は$1$次因子をもつ．すなわち$f(x)=(x+A)(x^2+Bx+C)$となるような実数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$がある．

(2)　方程式$f(x)=0$の$3$根の実数部分が，すべて負であるならば，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$はすべて正の数である．

【２】　定円の直径$\mathrm{CD}$と，その上の点$\mathrm{P}$（ただし，$\mathrm{P}\ne \mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}\ne \mathrm{D}$）で交わる弦$\mathrm{AB}$とを考え，$\mathrm{\angle ACD}=\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle BCD}=\beta$とする．

$\tan \alpha \cdot \tan \beta ={\displaystyle \frac{\mathrm{▵ADB}}{\mathrm{▵ACB}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{CP}}}$

を証明せよ．

【３】　次の文中の$\boxed{}$に，適当な語句または文を入れよ．

　$1$つの命題「$\mathrm{A}$ならば$\mathrm{B}$である」について，条件$\mathrm{A}$を満たすものが存在しないならばこの命題は$\boxed{}\text{，}$その理由は，次の通りである．$1$つの命題と，その$\boxed{}$とは互いに同値であるから，次の命題を考えればよい．

「$\mathrm{B}$で$\boxed{}$ならば，$\mathrm{A}$で$\boxed{}$．」

この命題の結論「$\mathrm{A}$で$\boxed{}$」は$\boxed{}$から，この命題は$\boxed{}\text{．}$ゆえに，もとの命題「$\mathrm{A}$ならば$\mathrm{B}$である」は$\boxed{}\text{．}$

　上のようなことが実際にあてはまる例を考えよう．

　次の命題を$\mathrm{P}$と呼ぼう．「$x\text{，}$$y$が実数であって，$x^2+y^2+1=0$であるならば，$x=0$または$y=0$である．」この$\mathrm{P}$を，「$\mathrm{A}$ならば$\mathrm{B}$である」の形にして考えると，$\mathrm{A}$は「$\boxed{}$」であり，$\mathrm{B}$は「$\boxed{}$」である．$\mathrm{A}$の否定は「$\boxed{}$」であり，$\mathrm{B}$の否定は「$\boxed{}$」である．

　したがって，$\mathrm{P}$の逆，対偶は，それぞれ，次の通りである．逆：$\boxed{}\text{，}$対偶：$\boxed{}$

　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{P}$の逆，$\mathrm{P}$の対偶のうち，(イ)初めに述べた命題の例になっているものは$\boxed{}$であり，(ロ)真であるものは$\boxed{}$である．

【４】　水槽$\mathrm{A}$には，ある薬品の水溶液が満たされている．これに水を注いで薄めながら，水槽$\mathrm{A}$の流出口から，一定の速さで水溶液を流出させ，それを別の水槽$\mathrm{B}$に注ぐ．

　流出を開始した時から時刻$t$を測定し，$0\leqq t\leqq k$（$k$は正の定数）の範囲で，時刻$t$のときの流出水溶液の比重は

$1+a{e}^{-bt}$$$（$a\text{，}$$b$は正の定数，$e$は自然対数の底）

で与えられ，また時刻$k$のとき水槽$\mathrm{B}$への注入が完了するものとする．

　水槽$\mathrm{B}$に注入された水溶液をよくかきまぜたとき，その比重はいくらか，

【５】　$\overrightarrow{\mathrm{A}}$はその大きさが$a$であるような定ベクトルであり，また各$k$$\text{（}=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）}$について，次のような成分をもつベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_k}$が与えられている．

$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_k}=(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}})$

　$1$つのサイコロを投げて，$k$の目が出たとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{X}}=\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{{\mathrm{B}}_k}$をとるものとする．この場合，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{X}}$の大きさの平方の期待値を，$a$を用いて表わせ．

【６】　実数$x\text{，}$$y$が，次の範囲を動くものとする．

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+y\geqq 1$

$a$が正の定数であるとき$f(x,y)=\sqrt{x}+a\sqrt{y}$の最小値を求めよ．