1970　京都大学　文科系・理科系

【１】　方程式$x^3-2x+k=0$は$k$がどんな値をとるとき重根をもつか．

【２】　数学的帰納法によって，${\left({\displaystyle \frac{n+1}{2}}\right)}^n>n!$を証明せよ．ここに$n$は$2$以上の整数とする．

【３】　$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の定弦で，その長さは$a\text{，}$また$\mathrm{A}$はこの円の周上の動点とする．このような$\mathrm{▵ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から対辺におろした垂線の長さをそれぞれ$h\text{，}$$k\text{，}$$l$とするとき，${\displaystyle \frac{kl}{h}}$は一定であることを証明せよ．

【４】　次の$6$つの条件をみたす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$のうち，$z$を最小にする$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値を求めよ．

$a>2\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=1\text{，}$$x>1\text{，}$$1<z<2\text{，}$$xz\geqq a\text{，}$$yz\geqq 2$

【５】　点$(a,b)$は直線$y=2x-2$の上にある．直線$y=2ax-b$と放物線$y=x^2$との囲む部分の面積を求めよ．また，この面積を最小にする$a$の値を定めよ．

【６】　$a$は$1<a<2$をみたす定数とする．$x_1=a\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{{x_n}^2+2}{3}}$によって定められた数列$x_1,$$x_2,$$\cdots ,$$x_n,\cdots$について，次の各式を証明せよ．

(1)　$1<x_n<a$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

(2)　$x_n-1\leqq \left({\displaystyle \frac{a+1}{3}}\right)(x_{n-1}-1)$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$

【１】　$x$の関数$f(x)$のグラフ$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線が，点$(c,0)$を通り，$a\ne c$であるものとする．このとき関数$g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x-c}}$の$x=a$における微分係数を求めよ．

【３】　空間に$2$直線$l\text{，}$$g$がある．$l\text{，}$$g$の上にそれぞれ$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{；}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3$がこの順にあって，${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2={\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3={\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3$であるとする．線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3$の中点をそれぞれ${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2\text{，}$${\mathrm{M}}_3$とするとき，$3$点${\mathrm{M}}_1\text{，}$${\mathrm{M}}_2\text{，}$${\mathrm{M}}_3$は同一直線の上にあることを証明せよ．

【４】　半径$r$の円$O$の定弦を$\mathrm{AB}$とし，その長さを$2l$とする．円$O$の周上の動点$\mathrm{P}$について，積$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}$が$2r(r-\sqrt{r^2-l^2})$となるのは，$\mathrm{P}$がどの位置にあるときか．

【５】　関数$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t{\sin }^{3}t\mathit{dt}$の極大値を求めよ．ただし，$x>0$とする．

【６】　$a$は$1<a<2$をみたす定数とする．$x_1=a\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{{x_n}^2+2}{3}}$によって定められた数列$x_1,$$x_2,$$\cdots ,$$x_n,\cdots$について，次の問いに答えよ．

(1)　$1<x_n<a$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

(2)　$x_n-1\leqq \left({\displaystyle \frac{a+1}{3}}\right)(x_{n-1}-1)$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

(3)　この数列の極限値を求めよ．