1971　京都大学　文科系・理科系

【１】(1)　次の$\boxed{}$の中に適当な数あるいは語句を入れ，その理由を記せ．

　$x>0$において，直線$y=ax$（$a$は正数）と曲線$xy=1$との交点を$\mathrm{P}$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OP}$の長さ$\overline{\mathrm{OP}}$が最小となるのは$a=\boxed{}$のときで，そのとき$\overline{\mathrm{OP}}=\boxed{}$である．$a\geqq 1$では，$a$が増加するとともに$\overline{\mathrm{OP}}$は$\boxed{}$し，$a<1$では，$a$が増加するとともに$\overline{\mathrm{OP}}$は$\boxed{}$する．

(2)　$0<xy\leqq 1\text{，}$$1\leqq {\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq \sqrt{3}\text{，}$$x>0$をみたす点$(x,y)$の範囲を考える．点$\mathrm{Q}$はこの範囲にあるものとして，$\overline{\mathrm{OQ}}$の最大値，およびそのとき線分$\mathrm{OQ}$が$x$軸となす角を求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}$$\beta$は複素数で，$\alpha$の絶対値は$1$とする．このとき

$z+\alpha \bar{z}+\beta =0$

を満足する複素数$z$があるための必要十分条件は$\alpha \bar{\beta }=\beta$であることを示せ．ここに$\bar{z}\text{，}$$\bar{\beta }$はそれぞれ$z\text{，}$$\beta$の共役複素数を表わす．

【３】　台形$\mathrm{ABCD}$の平行な$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{DC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとる．次に$\mathrm{AB}$に平行な直線が辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$および線分$\mathrm{PQ}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{AP}=a\text{，}$$\mathrm{PB}=b\text{，}$$\mathrm{DQ}=c\text{，}$$\mathrm{QC}=d\text{，}$$\mathrm{LN}=x\text{，}$$\mathrm{NM}=y$とする．$ad-bc>0\text{，}$$c\ne 0$のとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}\text{，}$${\displaystyle \frac{b}{a}}\text{，}$${\displaystyle \frac{d}{c}}$の大小を調べよ．

【４】　$xy$平面上の曲線$y=\sqrt{|x^2-1|}$と直線$y=2$とが囲む図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【５】　空間に正方形がある．これを$1$つの平面上に正射影したとき，$2$辺の長さおよび$1$つの頂角がそれぞれ$2\sqrt{2}\text{，}$$\sqrt{6}$および$30\mathrm{°}$であるような平行四辺形が得られた．

(1)　平行四辺形の$2$つの対角線の長さを求めよ．

(2)　もとの正方形の面積を求めよ．

【６】　$3$次関数$f(x)=x^3-ax$（$a$は実数）の絶対値$|f(x)|$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値は，$a$の値が何であっても，つねに${\displaystyle \frac{1}{4}}$より小さくないことを証明せよ．

【１】　座標平面において，$x\text{，}$$y$がともに整数であるような点$(x,y)$を格子点とよぶことにする．この平面上で

(1)　辺の長さが$1$で，辺が座標軸に平行な正方形（周をこめる）は少なくとも$1$つの格子点を含むことを証明せよ．

(2)　辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形（周をこめる）は，どんな位置にあっても，少なくとも$1$つの格子点を含むことを証明せよ．

【３】　関数$f(x)=x^2+ax+b$（$a\text{，}$$b$は実数）の$0\leqq x\leqq 1$における最小値を$m$とする．不等式$a+2b\leqq 2$を満足する$a\text{，}$$b$で，$m$を最大にするものを求めよ．

【５】　半径$r$の円に内接する正$n$角形の頂点を順次${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$とする．まず頂点${\mathrm{A}}_2$を中心とする半径${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1$の円と辺${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_2$の延長（$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_2}$の方向）との交点を${\mathrm{B}}_1$として扇形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$をつくる．次に頂点${\mathrm{A}}_3$を中心とする半径${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_1$の円と辺${\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_3$の延長（$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_3}$の方向）との交点を${\mathrm{B}}_2$として扇形${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$をつくる．順次このようにして$n$個の扇形をつくる．さて，正$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$の面積とこれら$n$個の扇形の面積の総和を$S_n$で表すとき

(1)　$S_n$を$n\text{，}$$r$を用いて表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【６】　$xy$平面上に$2$つの動点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$は点$(1,0)$から出発し，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を正の向きに一定の速さ$\pi$（円周率）で回転する．$\mathrm{Q}$は点$(a,0)$から出発し，$y$軸に平行な直線上を$y$の増加方向に一定の速さ$v$で進む．ただし，$0<v<a\pi$とする．

(1)　出発時から測って，時刻$n$と$n+1$との間で$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が$1$直線上に並ぶ時刻$t_n$がただ$1$回あることを示せ．ただし，$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$とする．

(2)　$n$が増してゆくと，$t_n-n$は一定値に近づくことを示せ．