1972　京都大学　文科系・理科系

【１】　$2$つまたは$3$つのベクトルの加法ついて，次の法則が成立する．

$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}\text{，}$$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C})$

いま，$n$個のベクトルを$\overrightarrow{A_1}\text{，}$$\overrightarrow{A_2}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\overrightarrow{A_n}$とし，その順序を任意にかえたものを，$\overrightarrow{B_1}\text{，}$$\overrightarrow{B_2}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\overrightarrow{B_n}$とする．上の$2$つの法則だけを使って

$\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{A_2}+\cdots +\overrightarrow{A_n}=\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2}+\cdots +\overrightarrow{B_n}$

が成り立つことを数学的帰納法で示せ．なお，なお，たとえば$4$つのベクトル$\overrightarrow{A}\text{，}$$\overrightarrow{B}\text{，}$$\overrightarrow{C}\text{，}$$\overrightarrow{D}$について，その和$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}$は$\{(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+\overrightarrow{C}\}+\overrightarrow{D}$を意味するとし，一般の場合も同様とする．

【２】　$3$次方程式$x^3-a{x}^2+ax-{\displaystyle \frac{a^2}{9}}=0$が相異なる$3$実根をもつために，実数の定数$a$のみたすべき必要十分条件を求めよ．

【３】　実数または複素数の$x\text{，}$$y\text{，}$$z\text{，}$$a$について，

$x+y+z=a\text{，}$$x^3+y^3+z^3=a^3$

の$2$式が成立するとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$のうちの少なくとも$1$つは$a$に等しいことを示せ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部の$1$点$\mathrm{P}$を頂点とする$1$つの平行四辺形を$\mathrm{PQRS}$とする．$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$へ向かう半直線が三角形$\mathrm{ABC}$の周と交わる点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とし，${\mathrm{R}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{S}}^{\prime }$も同様の点とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=a\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{Q}}^{\prime }}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=b\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{R}}^{\prime }}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PS}}=c\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{S}}^{\prime }}$とおくとき，

$a+c\geqq b$

が成立することを示せ．（$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$などはベクトルを表わす）．

【５】　$a\text{，}$$c$を定数，$t$を媒介変数として次の式で表わされる$xy‐$平面上の曲線がある．

$\{\begin{array}{ll}x=c{a}^t+t& \text{（}a>1\text{）}\\ y=c{a}^t-t& \text{（}t\text{はすべての実数値をとる）}\end{array}$

(1)　$c=1$のとき，この曲線の概形をえがけ．（座標軸を回転して考えよ）．

(2)　平面上のどのような点$(p,q)$をあたえても，$c$を適当に選べば，上の曲線はこの点$(p,q)$を通ることを示せ．

【６】　$9u_{n+1}=(10-{u_n}^2)u_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{u_n\}$がある．いま，$0<u_1<{\displaystyle \frac{3}{2}}$と仮定するとき次のことを示せ．

(1)　すべての$n$について，$0<u_n<{\displaystyle \frac{3}{2}}$

(2)　$u_1>u_2$ならばすべての$n$について$u_n>u_{n+1}\text{，}$$u_1<u_2$ならばすべての$n$について$u_n<u_{n+1}$

【２】　次の式で定められる関数$F(x)$に対して，$\underset{x\to +\infty }{\lim }[F(x)-\log x]$を求めよ．

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{t}{(t+1)(t+3)}}\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$

【５】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a\text{，}$$b>0\text{）}$の上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$を媒介変数$u$をつかって，

$x=a\cos u\text{，}$$y=b\sin u$$\text{（}0\leqq u<2\pi \text{）}$

で表す．時間を$t$とし，$\mathrm{P}$は$t$の変化につれて次のように移動する．時刻$t=0$のとき点$\mathrm{P}$は$(a,0)$にあり，その後このだ円上を時計の針の進行方向と逆の方向に動く．時刻$t$$\text{（}>0\text{）}$までに線分$\mathrm{OP}$の通過した部分の面積を$S$とする．つねに${\displaystyle \frac{\mathit{dS}}{\mathit{dt}}}=1$であるとき，$u$を$t$の関数として表わせ．($\mathrm{O}$は原点である．)

【６】　$n$枚のカードがあり，それぞれのカードには$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$という数字が記入されている．これをよく混ぜて無作為（任意）に$1$枚のカードを取り出すとき，それに記入された数の期待値（平均値）を$E$とする．また，同時に$2$枚のカードを取り出すとき，記入された$2$数の和の期待値（平均値）を$F$とすれば，$F=2E$となることを示せ．（$n\geqq 2$）