1973　京都大学　文系・理系

【１】　$10$進法で$3$けたの整数$\alpha$$\text{（}\geqq 0\text{）}$をとり，$\alpha$の一の位の数と百の位の数を入れかえてできる数を${\alpha }^{\prime }$とする．ただし，$1$けたの数，$2$けたの数もそれぞれその前に$00$および$0$をつけて$3$けたの数とみなす．$\alpha$が$0$から$999$までのすべての整数をとるとき，整数$\alpha -{\alpha }^{\prime }$全体の集合を$A$とし，$A$に含まれる正の整数全体の集合を$B$とする．このとき

(1)　$A\text{，}$$B$に属する整数の個数を求めよ．

(2)　$B$に属する整数の総和を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は実数とする．$3$次方程式

$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

において，$1$根が$1$で，他の$2$根はその絶対値がいずれも$1$であるための必要十分条件を求めよ．

【３】　底辺の長さが$a\mathrm{cm}\text{，}$その辺に対する頂角の大きさが$\theta \mathrm{°}$$\text{（}0\theta <180\text{）}$であるような$3$角形の面積の数値全体の集合を$S(a,\theta )$で表わす．いま

$0<a_1\leqq a_2\text{，}$$0<{\theta }_2\leqq {\theta }_1<180$

であるとき，$S(a_1,{\theta }_1)$と$S(a_2,{\theta }_2)$の包含関係をしらべよ．とくに等しくなるのはどのような場合か．

【４】　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は平面上の単位ベクトルで，どの$2$つも$120\mathrm{°}$の角をなすものとする．このとき，この平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して

(1)　$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{x})+(\overrightarrow{b},\overrightarrow{x})+(\overrightarrow{c},\overrightarrow{x})=0$が成り立つことを示せ．

(2)　${(\overrightarrow{a},\overrightarrow{x})}^2+{(\overrightarrow{b},\overrightarrow{x})}^2+{(\overrightarrow{c},\overrightarrow{x})}^2$の値を$\overrightarrow{x}$の大きさ$l$を用いて表わせ．

　ただし，$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{x})$などはベクトルの内積を表わす．

【５】　$y=f(x)=a{x}^2+bx+c$において，$f(0)>0$とし，この関数のグラフは点$(1,1)$および$(3,5)$を通るものとする．このとき$f(x)$の最小値を最大にするような$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【６】　放物線$y=a{x}^2-4$$\text{（}a>0\text{）}$と直線$y=5$とで囲まれた部分の面積を$S$とし，その部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$S\text{，}$$V$の値を求め，$S$と$V$の間の$a$を含まない関係式を導け．

【３】　正$3$角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{O}$を直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と反対側にとって$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}$となるようにし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表す．このとき

$\overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}}\overrightarrow{b}$

であることを証明せよ．ただし，$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$はそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の大きさを示す．

【４】

$\underset{n\to \infty }{\lim }n[{\displaystyle \frac{{(\sqrt{n(n+1)}-n)}^3}{n}}-{\displaystyle \frac{{(\sqrt{n(n+1)}-(n+1))}^3}{n+1}}]$

を求めよ．

【５】　$n$は自然数とし

$f(x)=1+{\displaystyle \frac{x^2}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{2\cdot 3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}}$

とする．このとき，$-1\leqq x\leqq 1$において$1\leqq f(x)<2$であることを証明せよ．

【６】　当たり”くじ”が確率$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$で現れる”くじ”があり，たかだか$2$回引くことができる．各自，最初に得点$1$をもってこの”くじ”を引き，当たり”くじ”ならば得点$1$を加え，そうでなければ$1$だけ減ずる．”くじ”を引き終えたときの合計得点が負または$0$ならば受け取る報酬は$0\text{，}$正ならばその得点がそのまま報酬になるものとする．このとき，$\mathrm{A}$君は$1$度もくじを引かないことに決め，$\mathrm{B}$君は$1$度くじを引き，当たればそこで止め，当たらなければもう$1$度引くことに決め，$\mathrm{C}$君は当たる当たらないにかかわらず$2$回引くことに決めた．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$$3$君の報酬の期待値を比較し，誰が一番有利であるかを判定せよ．