1974　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$3$角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=3\text{，}\mathrm{AB}=4$ならば

$\cos A=\boxed{}\cos B=\boxed{}\cos C\text{，}$

$\tan A=\boxed{}\tan B=\boxed{}\tan C$

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　直線$y=-2x+4$上の点$\mathrm{P}$と放物線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{Q}$との距離が最小になるように$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を選べば，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{},\boxed{})$であり，$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{},\boxed{})$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　空間の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-1,0)$と$\overrightarrow{b}=(1,1,4)$とに直交し，長さが$1$で，その$x$成分が正となるベクトル$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{c}=(\boxed{},\boxed{},\boxed{})$である．また，ベクトル$\overrightarrow{d}=(4,2,3)$が$\overrightarrow{d}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\gamma \overrightarrow{c}$と表されるとすると，$\gamma =\boxed{}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．ただし，$\text{(a)}\boxed{}\text{，}\text{(b)}\boxed{}$については，問題の最後に書いてある$6$つの命題の中から，あてはまるものの番号を選べ．

　$a>0\text{，}b>0\text{，}c>0\text{，}d>0$のとき，連立方程式

$ax+by=2\text{，}cx-dy=1$

の解を$(x,y)$とする．

$b\text{，}c\text{，}d$を固定し，$a$を増加させれば$\text{(a)}\boxed{}$．また，

$a\text{，}b\text{，}d$を固定し，$c$を増加させれば$\text{(b)}\boxed{}$．

　さらに，$h$を$0$と$1$との間の数として，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が

$1-h<a<1+h\text{，}1-h<b<1+h$

$2-h<c<2+h\text{，}1-h<d<1+h$

の範囲にあるときの解$x$の存在範囲を$L<x<M$とすると，$h$が$0$に近づくときの${\displaystyle \frac{M-1}{h}}$の極限は$\boxed{}\text{，}{\displaystyle \frac{1-L}{h}}$の極限は$\boxed{}$である．

【１】　　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$3$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(5,3)\text{，}\mathrm{C}(4,5)$を頂点とする$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{}$であり，直線$x=1+\sqrt{\boxed{}}$はこの面積を$2$等分する．また$3$角形$\mathrm{ABC}$の重心の座標は$(\boxed{},\boxed{})$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$3$つの方程式

(1)　$x^3+x+5p=0$

(2)　$x^3+x^2+qx-3p^2=0$

(3)　$x^2-2x+q=0$

において，$p\text{，}q$は実数で，$p>0$とする．もし，(1)，(2)，(3)のすべてに共通な根が存在するならば，$p=\boxed{}\text{，}q=\boxed{}$であり，その根以外の(1)の根は$\boxed{}\pm \boxed{}i$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　自然数$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$を与えたとき，$x(x+2)(x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{n}})\leqq 0$を満たす実数$x$全体の集合を${\mathrm{A}}_n\text{，}{x}^4-x^2+{\displaystyle \frac{1}{9n^2}}\leqq 0$を満たす実数$x$全体の集合を${\mathrm{B}}_n$とする．${\mathrm{A}}_n$は$2$個の，互いに交わらない閉区間からなる．${\mathrm{B}}_n$は$\boxed{}$個の，${\mathrm{A}}_n\cup {\mathrm{B}}_n$は$\boxed{}$個の，${\mathrm{A}}_n\cap {\mathrm{B}}_n$は$\boxed{}$個の，互いに交わらない閉区間からなる．また，${\mathrm{A}}_n$を構成する$2$つの閉区間の長さの和は，$n\to \infty$のとき，$\boxed{}$に収束する．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　複素平面上で，複素数$\alpha$は$2$点$1+i$と$1-i$とを結ぶ線分上を動き，複素数$\beta$は原点を中心とする半径$1$の円周上を動くものとする．

(1)　$\alpha +\beta$が複素平面上を動く範囲の面積は$\boxed{}+\boxed{}\pi$である．

(2)　$\alpha \beta$が複素平面上を動く範囲の面積は$\boxed{}\pi$である．

(3)　${\alpha }^2$が複素平面上で描く曲線と虚数軸とで囲まれた範囲の面積は$\boxed{}$である．