1975　京都大学　文系・理系

【１】　直角をはさむ$2$つの半直線$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を，$\overline{\mathrm{PQ}}=2a$（$a$は正の定数）であるようにとる．このとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積を最大にするには線分$\mathrm{OP}$の長さをいくらにすればよいか．

【２】　$f(x)=x^3-5x^2+3x+a$とする．$x$の正の値に対し，つねに$f(x)>0$となるのはどのようなときか．

【３】　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$がこの順に等差数列であり，$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta \text{，}$$\sin \gamma$がこの順に等比数列であるのはどのようなときか．

【４】　平面上で，$3$つの定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と定円の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の大きさが最大となるのは点$\mathrm{P}$がどんな位置にあるときか．

【５】　$n$と$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$は自然数であって，不等式

$2\leqq a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^n}(1-{\displaystyle \frac{1}{a_i}})-2>0$

満たすものとする．$S={\displaystyle \sum _{i=1}^n}(1-{\displaystyle \frac{1}{a_i}})-2$とおく．

(1)　とくに$n=3$として，$S$を最小にする$(a_1,a_2,a_3)$を求めよ．

(2)　$n$も自由に動かした可能なすべての組$(n,a_1,a_2,\cdots ,a_n)$のうちで，$S$を最小にするものを求めよ．

【６】　$a$が実数で$a<1$のとき，数列$x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$を

$x_0=a\text{，}$$x_n={\displaystyle \frac{1}{2-x_{n-1}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定義する．このとき

(1)　$x_n$を$n$と$a$で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2(x_n-1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$を求めよ．

【１】　あるスポーツの大会で，参加した$n$個のチームは次の方法（リーグ戦形式）で順位を争う．すなわち，どのチームも他の各チームとそれぞれ$1$回ずつ試合を行い，勝ち数の大小によって順位をきめるものとする．今年の大会では，引き分けが$1$回も起こらず，また同順位のチームがなかったという．このとき，どのチームもそれより下位のチームには必ず勝っていることを証明せよ．

【２】(1)　$x\geqq 0$のとき$\sqrt{x}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x+1)$を示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^k}\sqrt{x}{(1-{\displaystyle \frac{x}{k}})}^k\mathit{dx}<1$を示せ（$k$は自然数）．

【６】　$\mathrm{▵ABC}$で$\mathrm{\angle A}=90\mathrm{°}\text{，}$$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=2$とする．頂点$\mathrm{A}$から斜辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を引く（$\mathrm{H}$はその交点）．半直線$\mathrm{AH}$上に中心$\mathrm{O}$をもつ半径$1$の円を考える．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の$3$つの辺が円$O$の周とそれぞれ$2$点で交わるのは，$\overline{\mathrm{AO}}=x$がどのような範囲にあるときか．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$と円$O$の内部の共通部分の面積を$S$とする．$x$が(1)の範囲にあるとき，$S$を次の関数$F(t)$を用いて表せ．

$F(t)=2{\displaystyle {\int }_t^1}\sqrt{1-u^2}\mathit{du}$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

(3)　$x$は(1)の範囲にあるとする．${\displaystyle \frac{\mathit{dS}}{\mathit{dx}}}$を求め，$S$を最大にする$x$の値を求めよ．