1976　京都大学　文系・理系

【１】(1)　多項式$f(x)=x^n$が，区間$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$において不等式$|f(x)|<{\displaystyle \frac{1}{1000}}$を満たすためには，$n$をどのようにとればよいか．

(2)　最高次の係数が$1$である多項式$g(x)$で，区間$0\leqq x\leqq 1$において不等式$|g(x)|<{\displaystyle \frac{1}{1000}}$を満たし，さらに$10000<|g(3)|<100000$であるようなものの例を$1$つあげよ．

【２】　$1$つの平面内にある，いくつかの$0$でないベクトルからなる集合$S$が条件“$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$S$のベクトルであれば${\displaystyle \frac{2(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})}{(\overrightarrow{b},\overrightarrow{b})}}$は整数である”を満たしているという．ただし，$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$等はベクトルの内積を表す．

(1)　$S$の$2$つのベクトルの間の角は，$0\mathrm{°}\text{，}$$30\mathrm{°}\text{，}$$45\mathrm{°}\text{，}$$60\mathrm{°}\text{，}$$90\mathrm{°}$およびこれらの補角のうちの$1$つであることを示せ．

(2)　(1)において，角が$0\mathrm{°}\text{，}$$30\mathrm{°}\text{，}$$60\mathrm{°}$の場合には，$2$つのベクトルの長さの比はどうなるか．

(3)　$30\mathrm{°}$の角をなすベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を含み，$12$個のベクトルからなる集合$S$の例を図示し，各ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

【３】　多項式$f(x)$で，等式

$f(x)f^{\prime }(x)+{\displaystyle {\int }_1^x}f(t)\mathit{dt}={\displaystyle \frac{4}{9}}x-{\displaystyle \frac{4}{9}}$

を満たしているものをすべて求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数をあらわす．

【４】(1)　点$(x,y)$が直線$y=ax$の上を動くとき，点$(2x-y,x-2y)$は原点を通る$1$つの直線$l$の上を動くことを示せ．

(2)　(1)における$2$つの直線$y=ax$と$l$とが一致するような$a$の値は$2$つあることを示し，そのような$a$の値を$a_1\text{，}$$a_2$とするとき，$2$つの直線$y=a_{1}x$と$y=a_{2}x$との間の角を求めよ．

【５】　初項$a_1=2\text{，}$第$2$項$a_2=3$であるような数列で，一般項$a_n$が簡単な式で与えられるものをつくりたい．$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$は$n$または定数，$*$は$4$則演算$\text{（}+\text{，}$$-\text{，}$$\times \text{，}$$÷\text{）}$のうちのいずれか，$A^n$は$A$の$n$乗をあらわすとき，

(1)　$a_n=A*B*C*D$の形の式で与えられる数列

(2)　$a_n=A^n*B*C$の形の式で与えられる数列

で，$a_1=2\text{，}$$a_2=3$を満たすものをそれぞれ$3$つずつ，合わせて$6$つの相異なる数列を作れ．ただし，$1$つの式の中の$*$は異なる$4$則演算を使ってもよく，$+0\text{，}$$\times 1$等は省略してよい．

【６】　曲線$y=\alpha x^3-\beta x$$\text{（}\alpha \ne 0\text{）}$の上にある$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$において，この曲線の接線がいずれも線分$\mathrm{PQ}$と垂直になっているという．

(1)　このような$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は原点に関して対称な位置にあることを示せ．

(2)　また，このような$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$があるためには$(\alpha ,\beta )$はどのような範囲になければならないか．

【４】　正の数列$a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が不等式${a_n}^3+3{a_n}^2-(9+{\displaystyle \frac{1}{n}})a_n+5<0$をみたしているとき，次の(1)，(2)を証明せよ．ただし，(2)を先に証明してもよい．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$

(2)　${(a_n-1)}^2<{\displaystyle \frac{1}{4n}}$

【５】　関数$f(x)$で$2$つの条件

(イ)　$f(x)$は微分可能

(ロ)　$x\leqq 0$のとき$f(x)=0\text{，}$$x\geqq 1$のとき$f(x)=1$

をみたすものがある．

(1)　微分可能な関数$g(x)$と正数$a$が与えられたとき，上の関数$f(x)$を用いて，次の条件(ハ)，(ニ)をみたす微分可能な関数$h(x)$を作れ．

(ハ)　$h(0)=0$

(ニ)　$\left|x\right|>a$のとき$h(x)=g(x)$

(2)　関数$f(x)$の例を$1$つつくり，その関数が(イ)を満たしていることを確かめよ．ただし，関数$f(x)$が微分可能であるとは，すべての$x$の値においてその微分係数が存在することである．

【６】　外観では区別できない$2$つの袋${\mathrm{U}}_1\text{，}$${\mathrm{U}}_2$があり，

${\mathrm{U}}_1$には$4n$個の赤玉と$n$個の白玉，

${\mathrm{U}}_2$には$2n$個の赤玉と$3n$個の白玉

がそれぞれ入っている．この袋のどちらかが観測者に手渡され，袋${\mathrm{U}}_1$が手渡される確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$袋${\mathrm{U}}_2$が手渡される確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．観測者は手渡された袋から$3$個玉を取り出し，赤玉の数が白玉の数より多いときは手渡された袋は${\mathrm{U}}_1$であると判断し，そうでないときは${\mathrm{U}}_2$であると判断する．観測者が誤った判断を下す確率を$p_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．