1977　京都大学　文系・理系

【１】　$2$次方程式$x^2+x-1=0$の$2$つの解$a\text{，}$$b$を成分にもつ，平面上のベクトル$\overrightarrow{u}=(a,b)$を考える．同じ平面上のベクトル$\overrightarrow{v}=(c,d)$で，$\overrightarrow{u}$と直交し，長さが$1$であるものの成分$c\text{，}$$d$を$2$つの解にもつ$2$次方程式を求めよ．

【２】　正の数$a$に対し，関数$f(x)=ax-(1+a^4)x^3$を考える．この関数のグラフが$x$軸の正の部分と交わる点の$x$座標を$c$とし，積分

$S_a={\displaystyle {\int }_0^c}f(x)\mathit{dx}$

を考える．$a$をいろいろ変えたとき，$S_a$の値が最大になるような$a$の値を求めよ．

【３】　$n$個の自然数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$を，次の$2$条件(ⅰ)，(ⅱ)を同時にみたすように選ぶとき，選び方は何通りあるか．

(ⅰ)　どの$a_i$も，$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$m$$\text{（}m>n\text{）}$の中から選ぶ．

(ⅱ)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$のうち，適当な$n-1$個を選べば，それらは互いに異なる．

【４】(1)　サイコロを$1$回または$2$回振り，最後に出た目の数を得点とするゲームを考える．$1$回振って出た目を見た上で，$2$回目を振るか否かを決めるのであるが，どのように決めるのが有利であるか．

(2)　上と同様のゲームで，$3$回振ることも許されるとしたら，$2$回目，$3$回目を振るか否かの決定は，どのようにするのが有利か．

【５】　$p$が素数であれば，どんな自然数$n$についても$n^p-n$は$p$で割り切れる．このことを，$n$についての数学的帰納法で証明せよ．

【６】　$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$であるような$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の$3$等分点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$をとる$\text{（}\mathrm{BM}=\mathrm{MN}=\mathrm{NC}\text{）．}$このとき，

(1)　$\mathrm{AM}$と$\mathrm{AN}$との大小関係を調べよ．

(2)　$\mathrm{\angle BAM}$と$\mathrm{\angle lCAN}$との大小関係を調べよ．

【３】　関数$f(x)=\sin x$に対し，関数$f^{(n)}(x)$を

$f^{(0)}(x)=f(x)\text{，}$$f^{(n+1)}(x)={\displaystyle \frac{d{f}^{(n)}(x)}{\mathit{dx}}}$

により定める$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）．}$任意の自然数$n$について，$2$つの関数$y=x{f}^{(n-1)}(x)$および$y=f^{(n)}(x)$のグラフを，それぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．$\mathrm{P}$が$C_1\text{，}$$C_2$の交点であれば，$\mathrm{P}$における$C_1\text{，}$$C_2$の接線$t_1\text{，}$$t_2$は互いに直交する．これを証明せよ．

【５】1)　底辺の長さ$a$が一定で，他の$2$辺の和$m$も一定$\text{（}m>a\text{）}$であるような$3$角形のうち，面積最大のものは，$2$等辺$3$角形であることを示せ．

(2)　周囲の長さが一定な$4$角形のうち，面積最大のものは正方形であることを示せ．

【６】　$a$は正の定数であり，$2$つの関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は次の$4$条件(ⅰ)〜(ⅳ)を満たしている$(\text{ここに}{f}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{df(x)}{\mathit{dx}}}\text{，}$$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{dg(x)}{\mathit{dx}}})\text{．}$

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)=-g(x)$

(ⅱ)　$g^{\prime }(x)\geqq f(x)$（すべての$x$の値について）

(ⅲ)　$g(0)=0$

(ⅳ)　$0\leqq x\leqq a$ならば$f(x)>0$

このとき，次の(1)，(2)を示せ．

(1)　$g(a)>0$

(2)　$a\leqq y\leqq a+{\displaystyle \frac{f(a)}{g(a)}}\text{，}$$f(y)=0$を満たす実数$y$がある．