1978　京都大学　文系・理系

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の数とするとき，不等式

$2({\displaystyle \frac{a+b}{2}}-\sqrt{ab})\leqq 3({\displaystyle \frac{a+b+c}{3}}-\sqrt[3]{abc})$

を証明せよ．また，等号が成立するのはどんな場合か．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$の重心$\mathrm{G}$を通る直線が，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$とそれぞれ辺上の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっているとする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=h\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$\mathrm{▵OAB}\text{，}$$\mathrm{▵OPQ}$の面積をそれぞれ$S\text{，}$$T$とすれば，次の関係が成り立つことを示せ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{h}}+{\displaystyle \frac{1}{k}}=3$

(2)　${\displaystyle \frac{4}{9}}S\leqq T\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}S$

【３】　放物線$y=4-x^2$と直線$y=3x$との$2$交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$は放物線の弧の上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くものとし，$\mathrm{▵PAB}$の面積が最大となるときの$\mathrm{P}$の座標を$(p,q)$とする．

(1)　$p$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$に平行な直線が放物線と$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$で交わるとき，線分$\mathrm{CD}$は直線$x=p$によって$2$等分されることを示せ．

(3)　放物線と線分$\mathrm{AB}$によって囲まれる図形は，直線$x=p$によって，互いに面積の等しい$2$つの部分に分けられることを示せ．

【４】　角$\theta$の回転を表わす行列を$R(\theta )$とする．すなわち$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とする．$2$次正方行列$X$で，$X^3=R(\theta )$を満たすものはどれだけあるかを考えたい．

(1)　行列$X$が，$X^3=R(\theta )$を満たせば，$X$は逆行列をもち，かつ$R(\theta )X=XR(\theta )$が成立することを示せ．

(2)　行列$X$が，ある角$\alpha$の回転を表わす行列$R(\alpha )$と，左上が正，左下が$0$であるような行列$T$との積であるとする．すなわち$X=R(\alpha )T\text{，}$ただし$T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)\text{，}$$a>0$とする．このとき，もし$X$が$R(\theta )X=XR(\theta )$を満たし，さらに$\theta$が$\pi$の整数倍でなければ，$a=c\text{，}$$b=0$であることを示せ．

(3)　一般に，逆行列をもつ任意の行列$X$は，ある角$\alpha$の回転を表わす行列$R(\alpha )$と，左上が正，左下が$0$であるような行列$T$との積$X=R(\alpha )T$として表わされる．行列に対応する$1$次変換を考えることによって，このことを示せ．

(4)　$X^3=R(\theta )$をみたす行列$X$は，$\theta$が$\pi$の整数倍でなければ，ちょうど$3$個存在し，$\theta$が$\pi$の整数倍ならば，無限に多く存在することを示せ．

【５】　$f(x)$は実数を係数とする$x$の多項式とする．

(1)　すべての整数$k$について，$f(k)$が整数であるための必要十分条件は，$f(0)$が整数であって，すべての整数$k$について，$f(k)-f(k-1)$が整数となることである．これを証明せよ．

(2)　$f(x)=a{x}^2+bx+c$のとき，すべての整数$k$について，$f(k)$が整数となるために，係数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がみたすべき必要十分条件を求めよ．

【６】　数$0$または$1$を$n$個並べて得られる数列

$A=\{a_1\text{,}{a}_2,\cdots ,a_n\}\text{，}$$a_i=0$または$1$

を考える．これに対して，新しい数列

$A^{\prime }=\{{a_1}^{\prime },{a_2}^{\prime },\cdots ,{a_n}^{\prime }\}\text{，}$${a_i}^{\prime }=0$または$1$

を次のように定める．$n$角形の頂点に，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$をこの順に並べたとき，

$a_i$の両隣が等しければ（すなわち$a_{i-1}=a_{i+1}$ならば）

${a_i}^{\prime }=0$

$a_i$の両隣が異なれば（すなわち$a_{i-1}\ne a_{i+1}$ならば），

${a_i}^{\prime }=1$

と定める（$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{，}$ただし$a_0=a_n\text{，}$$a_{n+1}=a_1$と見なす）．このとき，$n\geqq 3$として，$A=A^{\prime }$（すなわち$a_i={a_i}^{\prime }\text{，}$$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$）となるような数列$A$をすべて求めよ．

【５】　$m\text{，}$$n$は整数とし，$f(x)=x^3+m{x}^2+nx+2$とする．

(1)　方程式$f(x)=0$が$3$つの整数解（重解があってもよい）をもつような$m\text{，}$$n$の組をすべて求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの整数解をもつために，$m\text{，}$$n$が満たすべき必要十分条件を求めよ．

(3)　$\left|m\right|\leqq 5\text{，}$$\left|n\right|\leqq 5$の範囲で，(2)の条件を満たす$m\text{，}$$n$の組はいく通りあるか．

【６】(1)　$m\text{，}$$n$は自然数とする．$3$角関数の加法定理を用いて，等式

$\sin mx\sin nx={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x\}$

が成り立つことを示し，さらに次の積分$I_{m,n}$を求めよ．

$I_{m,n}={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nx\mathit{dx}$

(2)　整数$k$$\text{（}0\leqq k\leqq 5\text{），}$自然数$m\text{，}$$n$および実数$a\text{，}$$b$に対して

$f(k)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(\sin kx-a\sin mx-b\sin nx)}^2\mathit{dx}\text{，}$

$p(k)={\displaystyle \frac{5!}{k!(5-k)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5\text{，}$$E={\displaystyle \sum _{k=0}^5}p(k)f(k)$

とおくとき，$E$を最小にするような$m\text{，}$$n\text{，}$$a\text{，}$$b$を求めよ．