1979　京都大学　文系・理系

【１】　平面上に$6$つの定点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$があって，どの$3$点も$1$直線上にはない．この$6$点のうちから$3$点を任意に選ぶ．選んだ$3$点を頂点とする$3$角形の重心と，残りの$3$点を頂点とする$3$角形の重心とを通る直線は，$3$点の選び方に無関係な一定の点を通ることを示せ．

【２】　$f(x)=1+2\cos x+3\sin x$とする．すべての$x$に対して$af(x)+bf(x-c)=1$が成り立つように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定めよ．

【３】　右の表のように，次の規則によって数列を順に並べる．

(ア)　第$1$行は$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$1$である．

(イ)　第$2$行以下では，左右両端の数は$1$であり，その他の数は左上の数と右上の数との和である．

第$n$行の数列を${}_{n}A_0\text{，}$${}_{n}A_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${}_{n}A_k\text{，}$$\cdots \text{，}$${}_{n}A_{n+2}$と書けば

$(1+x^2){(1+x)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n+2}}{}_{n}A_k{x}^k$

が成り立つこと示せ．

【４】　$2$人の人が$1$つのサイコロを$1$回ずつふり，大きい目を出したほうを勝ちとすることにした．ただし，このサイコロは必ずしも正しいものではなく，$k$の目のでる確率は$p_k$である$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）．}$このとき

(1)　引き分けになる確率$P$を求めよ．

(2)　$P\geqq {\displaystyle \frac{1}{6}}$であることを示せ．また，$P={\displaystyle \frac{1}{6}}$ならば，$p_k={\displaystyle \frac{1}{6}}$である$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）}$ことを示せ．

【５】　${\displaystyle \frac{2^n}{n}}>n$をみたす自然数$n$の範囲を求めよ．

【１】　次の条件を満たしていて，かつ最高次の係数が$1$である$x$の整式$P_1(x)\text{，}$$P_2(x)\text{，}$$P_3(x)$を求めよ．

(1)　$P_1(x)$は$1$次式であって，どんな定数$C$に対しても

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_1(x)C\mathit{dx}=0$

(2)　$P_2(x)$は$2$次式であって，$1$次以下のどんな整式$f(x)$に対しても

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_2(x)f(x)\mathit{dx}=0$

(3)　$P_3(x)$は$3$次式であって，$2$次以下のどんな整式$f(x)$に対しても

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_3(x)f(x)\mathit{dx}=0$

【３】(1)　変数$t$が$t>0$の範囲を動くとき

$f(t)=\sqrt{t}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+\sqrt{t+{\displaystyle \frac{1}{t}}+1}$

$g(t)=\sqrt{t}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}-\sqrt{t+{\displaystyle \frac{1}{t}}+1}$

について，$f(t)$の最小値は$2+\sqrt{3}\text{，}$$g(t)$の最大値は$2-\sqrt{3}$であることを示せ．

(2)

$a=\sqrt{x^2+xy+y^2}\text{，}$$b=p\sqrt{xy}\text{，}$$c=x+y$

とおく．任意の正数$x\text{，}$$y$$\text{（}>0\text{）}$に対して$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$3$辺の長さとする3 角形がつねに存在するように，$p$の値の範囲を定めよ．

【５】　中心が$\mathrm{O}$である定円の周上に$6$つの定点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5\text{，}$${\mathrm{A}}_6$がある．このとき

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}$となるように点$\mathrm{H}$をとれば，点$\mathrm{H}$は$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$の垂心であることを示せ．

(2)　$6$点${\mathrm{A}}_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{）}$のうちから$3$点を任意に選ぶ．選んだ$3$点を頂点とする$3$角形の垂心と，残りの$3$点を頂点とする$3$角形の重心とを通る直線は，$3$点の選び方に無関係な一定の点を通ることを示せ．

<注意>　$3$角形の各頂点からその対辺にひいた$3$つの垂線は$1$点で交わる．この交点をその$3$角形の垂心という．

【６】　平面上に動点$\mathrm{P}$がある．時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$のときの$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$は次の式で与えられる．

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=e^{-at}\left(\begin{array}{cc}\cos bt& -\sin bt\\ \sin bt& \cos bt\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)$

ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c_1\text{，}$$c_2$は定数であって$a>0\text{，}$$b>0$であり，定点$\mathrm{C}$$(c_1,c_2)$は原点$\mathrm{O}$$(0,0)$とは異なるものとする．このとき

(1)　動点$\mathrm{P}$の速度ベクトルと動径$\mathrm{OP}$のなす角は一定であることを示せ．

(2)　動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$を出発したのち，線分$\mathrm{OC}$と最初に交わる点を${\mathrm{C}}_1\text{，}$第$2$回目に交わる点を${\mathrm{C}}_2$とする．一般に，第$k$回目に$\mathrm{OC}$と交わる点を${\mathrm{C}}_k$とする．$\mathrm{P}$の経過した道のり$\stackrel{⏜}{\mathrm{C}{\mathrm{C}}_1}\text{，}$$\stackrel{⏜}{{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\stackrel{⏜}{{\mathrm{C}}_k{\mathrm{C}}_{k+1}}\text{，}$$\cdots$は等比数列であることを示せ．