1980　京都大学　文系・理系

【１】　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$だけを使い，乗法で得られる行列（$A\text{，}$$B$いずれも何回も使ってよい）全部を求めよ．

【２】　凸$4$辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$上をそれぞれ一定速度で動く動点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が時刻$t=0$のときそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を出発し，時刻$t=1$のときそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{A}$に達するものとする．$4$辺形$\mathrm{PQRS}$の面積を$t$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$の関数として表せ．またこの関数の最小値について調べよ．

【３】　$f(x)$が$n$次の多項式で$n\geqq 2$であるとき，

$f(x)+f(x+1)-2{\displaystyle {\int }_0^1}f(x+t)\mathit{dt}$

は$n-2$次であることを示せ．

【４】　$\mathrm{A}$君は次のように考えた．

　「さいころを$6$回ふることにする．$m=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のおのおのについて，$m$回目に$1$の目が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．したがって，$6$回のうちに少なくとも$1$回$1$の目が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}=1$である．すなわち，さいころを$6$回ふれば少なくも$1$回は$1$の目が出る．」

　$\mathrm{A}$君の考えは正しいかどうかをいえ．もし正しくないならば，誤りの原因を，なるべく簡潔に指摘せよ．

【５】　互いに異なる$n$個$\text{（}n\geqq 3\text{）}$の正の数の集合$S=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$が次の性質をもつという．

「$S$から相異なる要素$a_i\text{，}$$a_j$をとれば$a_i-a_j$または$a_j-a_i$の少なくとも一方が必ず$S$に属する」

このとき，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の順序を適当に変えれば等差数列になることを示せ．

【２】　放物線$y=a{x}^2+bx$で，次の性質をもつものを考える．

$\text{①}$　$a<0\text{，}$$b>0$

$\text{②}$　放物線の頂点は直線$y=-2x+5$上にある．

このような放物線のうち，それと$x$軸とが囲む面積が最大になるのは，$b$がどのような値をとるときか．また，そのときの面積を求めよ．

【３】　空間の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の組で，次の条件を満たすものを考える．

$\text{①}$　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は平面$x+y+z=1$上にある．

$\text{②}$　$\mathrm{A}$の座標が$(l,m,n)$であれば，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標はそれぞれ$(m,n,l)\text{，}$$(n,l,m)$である．

$\text{③}$　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は直交する（ただし，$\mathrm{O}=(0,0,0)$）．

このとき，そのような$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のとり方に関せず，次の$3$つが成り立つことを示せ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は定円上にある．

(2)　$4$面体$\mathrm{OABC}$の体積は一定である．

(3)　$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とすれば$6$点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は定球面上にある．

【４】　次のようなゲームがある．

$\text{①}$　最初の持ち点は$2$である．

$\text{②}$　サイコロをふって，奇数の目が出れば持ち点が$1$点増し，偶数の目が出れば持ち点が$1$点減る．このような操作を$5$回する．ただし途中で持ち点が$0$になったら，その時点でゲームは終了する．

このゲームについて，$5$回サイコロをふることができる確率，およびゲームが終わった時の持ち点の期待値を求めよ．

【５】　互いに異なる$n$個$\text{（}n\geqq 3\text{）}$の正の数の集合$S=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$が次の性質をもつという．

「$S$から相異なる要素$a_i\text{，}$$a_j$をとれば$a_i-a_j\text{，}$$a_j-a_i$の少なくとも一方が必ず$S$に属する」

このとき，

(1)　次の$2$つのうちのいずれか一方が成り立つことを示せ．

(イ)　$a_i\geqq 0$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

(ロ)　$a_i\leqq 0$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

(2)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の順序を適当に変えれば等差数列になることを示せ．

【６】　$0\text{，}$$1$のいずれとも異なる$2$整数$a\text{，}$$b$$\text{（}a\ne b\text{）}$を考え，$f(x)=x(x-1)(x-a)(x-b)+1$とおく．$g(x)\text{，}$$h(x)$が整数係数の多項式で$f(x)=g(x)h(x)$であると仮定する．このとき，

(1)　$g(0)=h(0)$を示せ．

(2)　$g(x)\text{，}$$h(x)$のどちらも定数でないならば$g(x)=h(x)$であることを示せ．

(3)　(2)の場合が起こるような$a\text{，}$$b$の例を$1$組求めよ．