1982　東京大学MathJax

【１】　平面上に$2$定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，線分$\mathrm{AB}$の長さ$\overline{\mathrm{AB}}$は$2(\sqrt{3}+1)$である．この平面上を動く$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$があって，つねに

$\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PQ}}=2\text{，}\overline{\mathrm{QR}}=\overline{\mathrm{RB}}=\sqrt{2}$

なる長さを保ちながら動いている．このとき，点$\mathrm{Q}$が動きうる範囲を図示し，その面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$y=x^2$上の$3$点を，$x$座標の小さいものから順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との$x$座標の差は$a$（$a$は正の定数），$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$との$x$座標の差は$1\text{，}$という関係を保ちながら$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が動く．

　$\angle \mathrm{CAB}$が最大となるときの，点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$で表せ．また，$\mathrm{\angle }\mathrm{CAB}$が最大になるときに，$\angle \mathrm{ABC}$が直角になるような$a$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を整数として，$x$の$4$次方程式$x^4+a{x}^2+b=0$の$4$つ解を考える．いま，$4$つの解の近似値

$-3.45\text{，}-0.61\text{，}0.54\text{，}3.42$

がわかっていて，これらの近似値の誤差の絶対値は$0.05$以下であるという．真の解を小数第$2$位まで正しく求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$とおく．$xy$平面において，$(1,1)$を座標とする点${\mathrm{P}}_0$から始めて，点列${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$をつぎのような手続きでつくっていく．${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とするとき，

(イ)　$x_n+y_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{100}}$のときは，$(x_{n+1},y_{n+1})$を$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$または$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$のどちらかが成り立つように決める．

(ロ)　$x_n+y_n<{\displaystyle \frac{1}{100}}$のときは，$(x_{n+1},y_{n+1})$を$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$によって決める．

　このようにするといろいろな点列ができるが，それらについて次の問に答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_2$として可能な点をすべて求め，図示せよ．

(2)　$x_n+y_n$を$n$で表わせ．

(3)　${\mathrm{P}}_{10}$として可能な点は何個あるか．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって定まる$xy$平面の$1$次変換を$f$とする．原点以外のある点$\mathrm{P}$が$f$によって$\mathrm{P}$自身にうつされるならば，原点を通らない直線$l$であって，$l$のどの点も$f$によって$l$の点にうつされるようなものが存在することを証明せよ．

【２】　正$4$面体$T$と半径$1$の球面$S$とがあって，$T$の$6$つの辺がすべて$S$に接しているという．$T$の$1$辺の長さを求めよ．つぎに，$T$の外側にあって$S$の内側にある部分の体積を求めよ．

【３】　$xy$平面において，点$\mathrm{A}$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周の第1象限にある部分を動き，点$\mathrm{B}$は$x$軸上を動く．ただし，線分$\mathrm{AB}$の長さは$1$であり，線分$\mathrm{AB}$は両端$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$以外の点$\mathrm{C}$で円周と交わるものとする．

(1)　$\theta =\angle \mathrm{AOB}$の取りうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{BC}$の長さを$\theta$で表わせ．

(3)　線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，線分$\mathrm{CM}$の長さの範囲を求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線$y=\sin x$に沿って，図のように左から右へすすむ動点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$の速さが一定$V\text{（}V>0\text{）}$であるとき，$\mathrm{P}$の加速度ベクトル$\overrightarrow{\alpha }$の大きさの最大値を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$の速さとは速度ベクトル$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$の大きさであり，また$t$を時間として$\overrightarrow{\alpha }=({\displaystyle \frac{d{v}_1}{dt}},{\displaystyle \frac{d{v}_2}{dt}})$である．

【５】　$xyz$空間において，不等式

$0\leqq z\leqq 1+x+y-3(x-y)y\text{，}0\leqq y\leqq 1\text{，}y\leqq x\leqq y+1$

のすべてを満足する$x\text{，}y\text{，}z$を座標にもつ点全体がつくる立体の体積を求めよ．

【６】　サイコロが$1$の目を上面にして置いてある．向かいあった一組の面の中心を通る直線のまわりに$90°$回転する操作をくり返すことにより，サイコロの置きかたを変えていく．ただし，各回ごとに，回転軸および回転する向きの選びかたは，それぞれ同様に確からしいとする．

　第$n$回目の操作のあとに$1$の面が上面にある確率を$p_n\text{，}$側面のどこかにある確率を$q_n\text{，}$底面にある確率を$r_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1$を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を$p_{n-1}\text{，}{q}_{n-1}\text{，}{r}_{n-1}$で表わせ．

(3)　$p=\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n\text{，}q=\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n\text{，}r=\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$を求めよ．