1982　京都大学　文系・理系

【１】　$0\leqq x\text{，}$$0\leqq y\text{，}$$0\leqq z$で定まる空間の部分を$A$とし，$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq 1\text{，}$$0\leqq z\leqq 1$で定まる立方体を$C$とする．$t$が$0<t<3$の範囲で動くとき，平面$x+y+z=t$による，$A$および$C$の切り口の面積を，それぞれ$T(t)$および$S(t)$とする．

(1)　$T(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)$の最大値を求めよ．

【２】　校庭に，南北の方向に$1$本の白線が引いてある．ある人が，白線上の点$\mathrm{A}$から西へ$5$メートルの点に立ち，銅貨を投げて，表が出たときは東へ$1$メートル進み，裏が出たときは北へ$1$メートル進む．白線に達するまで，これを続ける．

(1)　$\mathrm{A}$点から$n$メートル北の点に達する確率$p_n$を求めよ．

(2)　$p_n$を最大にする$n$を求めよ．

【３】　$C$を$y=x^3-x$のグラフ，$\mathrm{P}$を原点と異なる$C$上の点とする．

(1)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線は，$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$で$C$と交わることを示せ．

(2)　曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分は，$y$軸$x=0$によって，どのような面積の比に分けられるか．

【４】　$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$および$b\ne 0$をみたす行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，次のこと示せ．

(1)　$1$次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$において，点$\mathrm{P}$$(x,y)$とその像$\mathrm{Q}$$(x^{\prime },y^{\prime })$を結ぶ線分の中点は，原点を通る定直線$l$上にある．

(2)　(1)において，線分$\mathrm{PQ}$がつねに定直線$l$と垂直であるための必要十分条件は，$b=c$である．

【５】　平面上に$4$辺形$\mathrm{ABCD}$があって，どの頂点も，残りの頂点の作る$3$角形の外部にある．$\mathrm{▵BCD}$の重心を${\mathrm{A}}_1\text{，}$$\mathrm{▵CDA}$の重心を${\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{▵DAB}$の重心を${\mathrm{C}}_1\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の重心を${\mathrm{D}}_1$とする．

(1)　線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{C}{\mathrm{C}}_1\text{，}$$\mathrm{D}{\mathrm{D}}_1$は$1$点$\mathrm{P}$を共有することを示せ．

(2)　(1)において，点$\mathrm{P}$は各線分をどのような比に分けるか．

【１】　$C$を$y=x^3+ax$のグラフ，$\mathrm{P}$を原点と異なる$C$上の点とする．

(1)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線は，$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$で$C$と交わることを示せ．

(2)　曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分は，$y$軸$x=0$によって，どのような面積の比に分けられるか．

【２】　次の性質をもつ実数$a$は，どのような範囲にあるか．

　$2$次方程式$t^2-2at+3a-2=0$は実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，$\alpha \leqq \beta$とするとき，不等式

$y\leqq x\text{，}$$y\geqq -x\text{，}$$ay\geqq 3(x-\beta )$

で定まる領域は，$3$角形になる．

【３】　平面上に$4$辺形$\mathrm{ABCD}$があって，どの頂点も，残りの頂点の作る$3$角形の外部にある．$\mathrm{▵BCD}$の重心を${\mathrm{A}}_1\text{，}$$\mathrm{▵CDA}$の重心を${\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{▵DAB}$の重心を${\mathrm{C}}_1\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の重心を${\mathrm{D}}_1$として，$4$辺形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$をつくる．これを$1$回目とし，同様の手続きをくり返して，$n$回目に得られる$4$辺形を${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$とする．

　このとき，次のことを示せ．

(1)　線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{C}{\mathrm{C}}_1\text{，}$$\mathrm{D}{\mathrm{D}}_1$は$1$点$\mathrm{P}$を共有する．

(2)　点${\mathrm{A}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$は$1$直線上にある．

(3)　${\mathrm{A}}_n$と$\mathrm{P}$との距離$\overline{{\mathrm{A}}_n\mathrm{P}}$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }\overline{{\mathrm{A}}_n\mathrm{P}}=0$である．

【６】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}t{e}^{-\left|t\right|}\mathit{dt}$について次の問に答えよ．

(1)　$-1\leqq x\leqq 0$のとき，$f(-1)\leqq f(x)\leqq f(0)$であることを示せ．

(2)　$f(x)$が最大および最小となる$x$の値をそれぞれ求めよ．