1983　京都大学　文系・理系

【１】　数直線上を原点から右（正の向き）に硬貨を投げて進む．表が出れば$1$進み，裏が出れば$2$進むものとする．このようにして，ちょうど点$n$に到達する確率を$p_n$で表す．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$3$以上の$n$について，$p_n$と$p_{n-1}\text{，}$$p_{n-2}$との関係式を求めよ．

(2)　$p_n$$\text{（}n\geqq 3\text{）}$を求めよ．

【２】　$\mathrm{\angle A}=90\mathrm{°}$である直角$3$角形$\mathrm{ABC}$がある．頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をそれぞれ始点として，辺$\mathrm{BC}$に垂直な半直線$l\text{，}$$m$を頂点$\mathrm{A}$のある側に引く．次に辺$\mathrm{BC}$上の任意の点$\mathrm{P}$より辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$に垂線を引き，この延長が$l\text{，}$$m$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(1)　$3$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{R}$は$1$直線上にあることを示せ．

(2)　台形$\mathrm{BCRQ}$の面積が$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積の$2$倍になるとき，この台形の形を求めよ．ただし，$\mathrm{AB}\ne \mathrm{AC}$とする．

【３】　$ab+cd=0\text{，}$$ad-bc\ne 0$を満たす実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$のつくる行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$がある．ただし，$a\text{，}$$c$は負でないとする．

(1)

$A=\left(\begin{array}{cc}v\cos \theta & -v\sin \theta \\ v\sin \theta & v\cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& u\end{array}\right)$

と表されることを示せ．ただし，$u\text{，}$$v\text{，}$$\theta$は実数で，$v>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$1$次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$について，長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$から，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$への角度を$\gamma$$\text{（}-\pi <\gamma \leqq \pi \text{）}$とする（したがって，半直線$\mathrm{OP}$を角度$\gamma$だけ回転すれば半直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$となる）．$(x,y)$が$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x^2+y^2=1$の範囲を動いたとき，$\gamma$を最大にする$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．ただし，$0<u<1$とする．

【４】　$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はたがいに直交している．点$\mathrm{O}$より直線$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$に垂線を引き，その交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(1)　四面体$\mathrm{OPQR}$の$4$面体$\mathrm{OABC}$に対する体積比を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の長さ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表せ．

(2)　$4$面体$\mathrm{OPQR}$の体積は$4$面体$\mathrm{OABC}$の体積の${\displaystyle \frac{1}{4}}$以下であることを示せ．

【５】　$f(x)$は$x$の整式で

$f(0)=f^{\prime }(0)=0\text{，}$$f^{″}(x)=2(1-x)$

を満たすとする（$f^{″}(xI$は$f^{\prime }(x)$の導関数を表す）．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの$x\geqq 0$の部分を$C$とする．また，点$(-1,0)$を通る$C$の接線で傾きが$0$でないものを$T$とする．このとき，$x$軸の負の部分と，$C\text{，}$$T$とで囲まれた領域の面積を求めよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$高校が野球の試合をする．まず$2$校が対戦して，勝った方が残りの$1$校と対戦する．これをくり返して，$2$連勝した高校が優勝する．$\mathrm{A}$校が$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$校に勝つ確率をそれぞれ$p\text{，}$$q$とし，$\mathrm{B}$校が$\mathrm{C}$校に勝つ確率を${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．次の確率を，それぞれ求めよ．ただし，$0<p<1\text{，}$$0<q<1$とする．

(1)　第$1$戦に$\mathrm{A}$校と$\mathrm{B}$校が対戦した場合，$\mathrm{A}$校が$\mathrm{B}$校に勝って優勝する確率．

(2)　第$1$戦に$\mathrm{A}$校と$\mathrm{B}$校が対戦した場合，$\mathrm{A}$校が$\mathrm{B}$校に負けて優勝する確率．

(3)　第$1$戦に$\mathrm{B}$校と$\mathrm{C}$校が対戦した場合，$\mathrm{A}$校が優勝する確率．

【５】　$xy$平面上に動点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{Q}$は時刻$0$のとき点$(0,-b)$にあり$\text{（}b>0\text{），}$速さ$1$で$y$軸上を正の向きに進む．他方$\mathrm{P}$は時刻$0$のとき$x$軸上の点$(-a,0)$にあり$\text{（}a>0\text{），}$速さ$1$で$x$軸上を正の向きに進み，ある時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$で向きを変え，速さを$\sqrt{2}$に変更して$\mathrm{Q}$に到達するように直進するものとする．時刻$t$から到達する時刻までの時間が最小になるような$t$を求めよ．ただし，$0<a<b$とする．

【６】　内側が直円すい形の容器がある．その回転軸は鉛直で，頂点が最低点，深さは$h$で，上面は半径$R$の円である．この容器に上面まで満たされた水を，断面積が$S$の管を通じて．最低点からポンプで流出させるとする．水の流出速度$v$は，そのときの水面の高さを$x$とすれば，$v=kx$（$k$は正の定数）で与えられるようにポンプが調整されているものとする．流出し始めた時刻を$t=0$として，時刻$t$における水面の高さ$x(t)$を求めよ．ただし，$t$は容器がからになる時刻までに限定する．（時刻$t$と$t+\mathit{\Delta t}$の間に流出する水量を$\mathit{\Delta Q}$とすれば，$\underset{\mathit{\delta t}\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathit{\Delta Q}}{\mathit{\Delta t}}}=Sv$が成り立つ．）