1984　京都大学　文科系・理科系

【１】　方程式$xy=1$によって与えられる双曲線を$C$とし，また次のように，行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって定義される$1$次変換を$f$とする．

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

　$1$次変換$f$が双曲線$C$を$C$自身の上へ写すための（$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$についての）必要十分条件を求めよ．

【２】　定数$c$$\text{（}c\ne 0\text{）}$に対して，等式$f(x+c)=f(x)$がすべての$x$について成り立つとき，関数$f(x)$は周期関数であるといい，またこの等式を満たすような正の数$c$のうちの最小値を，$f(x)$の周期という．次の関数は周期関数であることを示し，またその周期を求めよ．

(1)　$f(x)=2^{\sin x}$

(2)　$f(x)=\sin (\sin x)$

【３】　実数$t$の値によって定まる点$\mathrm{P}$$(t+1,t)$と$\mathrm{Q}$$(t-1,-t)$がある．$t$が区間$[0,1]=\{t|0\leqq t\leqq 1\}$を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲の面積を求めよ．

【４】　$f(x)$と$g(x)$はいずれも$x$の整式で，次の条件を満たしているとする．

(イ)　$f(x)={\{g(x)\}}^2+a$（ただし$a$はある実数．）

(ロ)　$g^{\prime }(x)=x+1$（ただし，$g^{\prime }(x)$は$g(x)$の導関数を表す．）

(ハ)　$f(-1)=f(1)=0$

　実数$k$を定数とするとき，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)+k$のグラフとの（$k$の値によって変わる）交点の個数を求めよ．

【５】　つぼの中に$r$個$\text{（}r\geqq 1\text{）}$の赤球と，$s$個$\text{（}s\geqq 0\text{）}$の白球が入っている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が，交互に球を$1$個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする．ただし，とり出した球は，もとに戻さないものとする．

(1)　ちょうど$i$回目（すなわち$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$$2$人のとり出した球の合計が，ちょうど$i$個になったとき）に勝者がきまる確率を$P_i$とするとき

$P_i\geqq P_{i+1}$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

となることを示せ．

(2)　このゲームを$\mathrm{A}$から始めるとする．任意の$r\text{，}$$s$に対して，$\mathrm{A}$が勝者となる確率は，${\displaystyle \frac{1}{2}}$またはそれ以上であることを示せ．

【２】　定数$c$$\text{（}c\ne 0\text{）}$に対して，等式$f(x+c)=f(x)$がすべての$x$について成り立つとき，関数$f(x)$は周期関数であるといい，またこの等式を満たすような正の数$c$のうちの最小値を，$f(x)$の周期という．次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数である場合には，その周期を求めよ．

(1)　$f(x)=\sin (\sin x)$

(2)　$f(x)=\cos (\sin x)$

(3)　$f(x)=\sin (x^3)$

【３】　実数$t$の値によって定まる点$\mathrm{P}$$(t+1,t)$と$\mathrm{Q}$$(t-1,-t)$がある．

(1)　$t$がすべての実数を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲を図示せよ．

(2)　$t$が区間$[0,1]=\{t|0\leqq t\leqq 1\}$を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲の面積を求めよ．

【４】　空間に$3$角形$\mathrm{ABC}$があるとし，空間の原点$\mathrm{O}$は，この$3$角形が決定する平面上にはないとする．

(1)　実数$u\text{，}$$v\text{，}$$w$が，等式$u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}+w\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$を満たすならば，$u=v=w=0$であることを示せ．

(2)　辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，$3$角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{P}$とすると，等式$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}+w\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が成立するという．$u\text{，}$$v\text{，}$$w$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

【５】　つぼの中に$r$個$\text{（}r\geqq 1\text{）}$の赤球と，$s$個$\text{（}s\geqq 0\text{）}$の白球が入っている．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が，交互に球を$1$個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする．ただし，とり出した球は，もとに戻さないものとする．

(1)　ちょうど$i$回目（すなわち$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$$2$人のとり出した球の合計が，ちょうど$i$個になったとき）に勝者がきまる確率を$P_i$とするとき

$P_i\geqq P_{i+1}$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

となることを示せ．

(2)　このゲームを$\mathrm{A}$からはじめるとする．任意の$r\text{，}$$s$に対して，$\mathrm{A}$が勝者となる確率は，${\displaystyle \frac{1}{2}}$またはそれ以上であることを示せ．また，$\mathrm{A}$が勝者となる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるための，$r$と$s$の条件を求めよ．

【６】　区間$[a,b]=\{x|a\leqq x\leqq b\}$で定義された関数$f(x)$について，次のことを仮定する．

(イ)　関数$f(x)$は連続であり，さらに$f(x)$およびその導関数$f^{\prime }(x)$について，微分と積分を自由に行うことができる．

(ロ)　区間$[a,b]$で，つねに不等式$a\leqq f(x)\leqq b$が成り立つ．

(ハ)　区間$[a,b]$でつねに不等式$|f^{\prime }(x)|\leqq k<1$が成り立つような定数$k$が存在する．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　等式$f(c_0)=c_0$を満たす値$c_0$が，区間$[a,b]$の中に，ただ$1$つ存在することを，簡単に説明せよ．

(2)　区間$[a,b]$の中の（任意の）$1$つの値$d_0$から出発して

$d_1=f(d_0)\text{，}$$d_{n+1}=f(d_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，不等式

$|d_n-c_0|\leqq k^n|d_0-c_0|$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成立することを示せ．ただし，$c_0$は(1)に述べられている値とする．