1986　京都大学　文科系・理科系

【１】　すべては$0$でない$n$個の実数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$があり，$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$かつ$a_1+a_2+\cdots +a_n=0$を満たすとき，$a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n>0$が成り立つことを証明せよ．

【２】　曲線$y=x^3+a{x}^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}=(u,v)$を通り，傾きが$b$の直線を$L$とする．$-1<u<1$となる任意の$u$に対し，$C$と$L$が点$\mathrm{P}$以外に共通点をもつような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【３】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$とする．また，$\alpha \text{，}$$\beta$は$2$つの実数とする．任意の点$\mathrm{P}$に対しベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$への正射影を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$（すなわち点${\mathrm{P}}_1$は$\mathrm{P}$から$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$を通る直線へおろした垂線の足），$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$への正射影を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$とし，$1$次変換$f_{\alpha ,\beta }$を$f_{\alpha ,\beta }(\overrightarrow{\mathrm{OP}})=\alpha \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+\beta \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$によって定める．$1$次変換$g$がどのような$\alpha \text{，}$$\beta$に対しても

$f_{\alpha ,\beta }\circ g=g\circ f_{\alpha ,\beta }$（$\circ$は変換の合成を表す）

となるための必要十分条件は，ある${\alpha }^{\prime }\text{，}$${\beta }^{\prime }$に対して$g=f_{{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }}$となることである．これを証明せよ．

【４】　座標空間において，平面$z=1$上に一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$から平面$z=0$におろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$の方向へ出発し，一定の速さで$\mathrm{▵ABC}$の周を$1$周する．動点$\mathrm{Q}$は同時に$\mathrm{E}$から$\mathrm{F}$の方向へ出発し，$\mathrm{P}$と同じ一定の速さで$\mathrm{▵DEF}$の周を$1$周する．線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる曲面と$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵DEF}$によって囲まれる立体を$V$とする．

(1)　平面$z=a$$\text{（}0\leqq a\leqq 1\text{）}$による$V$の切り口はどのような図形か．

(2)　$V$の体積を求めよ．

【５】　$n$個のサイコロを同時にふり，出た目の数の最大のものを$M_n\text{，}$最小のものを$m_n$とするとき，$M_n-m_n>1$となる確率を求めよ．

【４】　同一平面上に$2$つの三角形$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$があり，それぞれの外接円の半径は共に$1$であるとする．この$2$つの外接円の中心を結ぶ線分の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{C}{\mathrm{C}}^{\prime }$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{MP}\leqq 1\text{，}$$\mathrm{MQ}\leqq 1\text{，}$$\mathrm{MR}\leqq 1$となることを示せ．

(2)　もし$\mathrm{▵PQR}$が鋭角三角形でその外接円の半径が$1$となるならば，点$\mathrm{M}$はこの外接円の中心と一致することを示せ．さらにこのとき$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{▵PQR}$はすべて合同となることを示せ．

【５】　$n$個のサイコロを同時にふり，出た目の数のうちの最大のものを$M_n\text{，}$最小のものを$m_n$とする．

(1)　$1\leqq i\leqq j\leqq 6$を満たす整数$i\text{，}$$j$に対して$M_n=j$かつ$m_n=i$となる確率$P(M_n=j,m_n=i)$を$n\text{，}$$i\text{，}$$j$で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left({\displaystyle \frac{M_n}{m_n}}\right)$および$\underset{n\to \infty }{\lim }V\left({\displaystyle \frac{M_n}{m_n}}\right)$を求めよ．

（一般に確率変数$X$に対して$E(X)$はその平均，$V(X)$はその分散を表す．）

【６】　$0<r<1$となる実数$r$に対し，点$\mathrm{O}=(0,0)$を中心とし半径が$r$の円を$C$とする．円$C^{\prime }$は中心が${\mathrm{O}}^{\prime }=(1,0)$で円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{OP}\perp {\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$となるものとする．円$C$の内部を$D\text{，}$円$C^{\prime }$の内部を$D^{\prime }\text{，}$四辺形$\mathrm{OP}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{Q}$の内部を$D^{″}$と表す．$r$を$0<r<1$の範囲で変化させるとき，$D^{″}$から交わり$D\cap D^{\prime }$を除いた部分の面積の最大値を求めよ．