1987　京都大学　B日程

【１】　次の分数式が既約分数式でないような定数$a$の値を求め，そのときの分数式を約分せよ．

${\displaystyle \frac{x^3-a{x}^2+12x-a-3}{x^3-(a+1)x^2+16x-a-6}}$

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が次の条件(＊)をみたすのは，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$にどのような関係があるときか．

(＊)「$(x,y)$と$(z,w)$が直交するベクトルであれば，$(x,y)A$と$(z,w)A$も直交するベクトルである．ただし，零ベクトル$(0,0)$はどんなベクトルとも直交するものとみなす．」

【３】　$a\text{，}$$b$は正の定数で，平面上に$4$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,b)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0)$と，放物線$y=a{x}^2$を平行移動した曲線$H$で，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通るものが与えられている．

(1)　$H$の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$は台形$\mathrm{OABC}$の中にあることを示せ．

(2)　$H$の弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$が台形$\mathrm{OABC}$の面積を$2$等分することはないことを示せ．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+b$が区間$0\leqq x\leqq 1$において，つねに正の値をとるのは，点$(a,b)$が座標平面のどの範囲にあるときかを，図示せよ．

【５】　互いに同形のガラス玉$g$個と，互いに同形のダイヤモンド$d$個と，表裏のあるペンダント$1$個とを，まるくつないでネックレス状のものを作る．ただし，ペンダントの両隣はダイヤモンドにする．$\text{（}d\geqq 2\text{，}$$g\geqq 1\text{）}$

(1)　何通りの作り方があるか．

(2)　どの$2$個のダイヤモンドも隣り合わないことにしたら，何通りの作り方があるか．