1988　京都大学　A日程

【１】　$a$は実数とする．

(1)　方程式$x^4+2a{x}^2-a+2=0$が実数解をもたないような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$x^4+2a{x}^2-a+2$の最小値を$m(a)$とする．$a$が(1)の範囲内にあるとき，$m(a)$の最大値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$に内分する点を${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とし，また線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$をそれぞれ$2:1$に内分する点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とする．このとき，三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$は三角形$\mathrm{ABC}$に相似であることを示せ．

【３】　実数$a\text{，}$$b$に対し，$f(x)=x^2+ax+b\text{，}$$g(x)=f(f(x))$とする．

(1)　$g(x)-x$は$f(x)-x$で割り切れることを示せ．

(2)　$g(p)=p$かつ$f(p)\ne p$をみたす実数$p$が存在するような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【４】　円$C$上に$2$つの定点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．$C$上を動く点$\mathrm{X}$に対し，$\mathrm{X}$から$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$までの距離の積が最大となるのは，$\mathrm{X}$がどのような点のときか．

【５】　一辺の長さが$1$の正方形と，一辺の長さが$2$の正方形でできたタイルが多数大きな袋に入っている．でたらめにタイルを一枚取り出すとき，小さいタイルが取り出される確率を$p\text{，}$大きいタイルが取り出される確率を$q=1-p$とする．縦の長さが$3\text{，}$横の長さが$6$の長方形に，取り出されたタイルを敷きつめていくとき，ちょうど$n$回でこの長方形が過不足なく敷きつめられる確率を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$とする．

(1)　$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$で，$x^2-3y^2=1\text{，}$$x>0\text{，}$$y\geqq 1$ならば，${x^{\prime }}^2-3{y^{\prime }}^2=1\text{，}$$0\leqq y^{\prime }<y$が成立することを示せ．

(2)　$x\text{，}$$y$が$x^2-3y^2=1$をみたす自然数ならば，ある自然数$n$をとると$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$となることを示せ．

【４】　各辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$を座標空間内で考える．辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあって，その中点は原点$\mathrm{O}$と一致し，辺$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{M}$は$z$軸の正の部分にあるとする．また，$0<t<1$をみたす実数$t$について，線分$\mathrm{OM}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を通り，$\mathrm{OM}$に垂直な平面を$\alpha$とする．

(1)　$2$頂点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$y$座標は正であるとする．

(2)　平面$\alpha$による正四面体$\mathrm{ABCD}$の切口は，どのような平面図形か．

(3)　平面$\alpha$で分けられた正四面体$\mathrm{ABCD}$の$2$つの部分のうち，原点に近い部分の体積を求めよ．

【６】　単位を$\mathrm{cm}$とする．$y={\displaystyle \frac{a}{x}}+b\text{，}$$0\leqq y\leqq 8$で表される曲線を$y$軸のまわりに回転させて作った曲面を側面にもつような，底の平らな容器がある．ただし，上面の半径は$1\mathrm{cm}\text{，}$底面の半径は$5\mathrm{cm}$である．

(1)　この容器に深さ$6\mathrm{cm}$まで水を入れたときの水の体積を求めよ．

(2)　この容器に毎秒$k{\mathrm{cm}}^3$の割合で水を入れるとき，深さ$3\mathrm{cm}$のときの水面の上昇速度を求めよ．