1988　京都大学　B日程

【１】　$0<x<1$に対して，${\displaystyle \frac{1-x^3}{3}}>{\displaystyle \frac{1-x^2}{2}}\sqrt{x}$が成り立つことを証明せよ．

【２】　$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$を$x$の$3$次式とする．すべての整数$n$に対して$f(n)$が整数になるための必要十分条件は，適当な整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$をとると，

$f(x)={\displaystyle \frac{p}{6}}x(x+1)(x+2)+{\displaystyle \frac{q}{2}}x(x+1)+rx$

と表されることであることを示せ．

【３】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$上の点$\mathrm{P}$における接線$l$と，原点$\mathrm{O}$を通り$l$と直交する直線$l^{\prime }$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta =\mathrm{\angle POQ}$とするとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．

【４】　$3$次曲線$y=-x^3+2x^2$上の，原点以外の点における接線が原点を通るとき，この接線と，もとの曲線とで囲まれる領域の面積を求めよ．

【５】　座標空間において

$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\text{，}$$\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)\text{，}$$\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$

とする．原点を出発点とし，サイコロを振り，出た目の数によって点を移動させる．出た目が$1$か$4$のときは$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$2$か$5$のときは$\overrightarrow{e_2}\text{，}$$3$か$6$のときは$\overrightarrow{e_3}$だけ点を移動させるものとする．

(1)　サイコロを$3$回振ったとき，点が$(1,2,0)$にある確率を求めよ．

(2)　サイコロを$n$回振ったとき，点が$3$つの座標平面のいずれかの上にある確率を求めよ．