1989　東京大学MathJax

【１】　$k>0$とする．$xy$平面上の二曲線

$y=k(x-x^3)\text{，}x=k(y-y^3)$

が第$1$象限に$\alpha \ne \beta$なる交点$(\alpha ,\beta )$をもつような$k$の範囲を求めよ．

【２】　$a>0$に対して次の二つの放物線を考える．

$C_1:y=x^2+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$

$C_2:y=-{(x-a)}^2$

(1)　$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接するような直線がつねに$2$本存在することを示せ．

(2)　(1)で定まる四つの接点が作る四角形の面積$S(a)$の最小値を求めよ．

【３】　虚部が正の複素数の全体を$\mathrm{H}$とする．すなわち，

$\mathrm{H}=\{z=x+iy|x,y\text{は実数で}y>0\}$

とする．以下$z$を$\mathrm{H}$に属する複素数とする．$q$を正の実数とし，

$f(z)={\displaystyle \frac{z+1-q}{z+1}}$

とおく．

(1)　$f(z)$もまた$\mathrm{H}$に属することを示せ．

(2)　$f_1(z)=f(z)$と書き，以下$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して

$f_2(z)=f(f_1(z))\text{，}{f}_3(z)=f(f_2(z))\text{，}\cdots \text{，}{f}_n(z)=f(f_{n-1}(z))\text{，}\cdots$

とおく．このとき，各$n$に対して

$f_n(z)={\displaystyle \frac{r_{n}z+(1-q)s_n}{s_{n}z+r_n}}\text{，}{r_n}^2-(1-q){s_n}^2=q^n$

が成り立つような$z$によらない実数$r_n\text{，}{s}_n$がとれることを示せ．

【４】　半径$r$の円$O$のまわりに一辺の長さ$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$を円$O$と同一平面内で次の二条件を満たしながら可能な限り移動させる．

(ⅰ)　$▵\mathrm{ABC}$は円$O$の内部と共有点を持たず，円$O$の周とただ一点を共有する．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$はそれぞれ一定に保たれる．

　このとき，$▵\mathrm{ABC}$の通過し得る範囲を図示して，その面積$S$を求めよ．さらに，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$T$とするとき，$r\to 0$としたときの極限値$\underset{r\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{T}}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$y=-1$を準線，点$\mathrm{F}(0,1)$を焦点とする放物線がある．この放物線上の点$\mathrm{P}(a,b)$を中心として，準線に接する円$C$を描き，接点を$\mathrm{H}$とする．$a>2$とし，円$C$と$y$軸との交点のうち$\mathrm{F}$と異なるものを$\mathrm{G}$とする．扇形$\mathrm{PFH}$(中心角の小さい方)の面積を$S(a)\text{，}$三角形$\mathrm{PGF}$の面積を$T(a)$とするとき，$a\to \infty$としたときの極限値

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T(a)}{S(a)}}$

を求めよ．

【３】　虚部が正の複素数の全体を$\mathrm{H}$とする．すなわち，

$\mathrm{H}=\{z=x+iy|x,y\text{は実数で}y>0\}$

とする．以下$z$を$\mathrm{H}$に属する複素数とする．$q$を正の実数とし，

$f(z)={\displaystyle \frac{z+1-q}{z+1}}$

とおく．

(1)　$f(z)$もまた$\mathrm{H}$に属することを示せ．

(2)　$f_1(z)=f(z)$と書き，以下$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対して

$f_2(z)=f(f_1(z))\text{，}{f}_3(z)=f(f_2(z))\text{，}\cdots \text{，}{f}_n(z)=f(f_{n-1}(z))\text{，}\cdots$

とおく．このとき，$\mathrm{H}$のすべての元$z$に対して$f_{10}(z)=f_5(z)$が成立するような$q$の値を求めよ．

【４】　${\displaystyle \frac{{10}^{210}}{{10}^{10}+3}}$の整数部分のけた数と，$1$の位の数字を求めよ．ただし，

$3^{21}=10460353203$

を用いてよい．

【５】　$f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2$とする．$y=f(x)$のグラフの$0\leqq x\leqq 1$の部分と$x$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$は

$V=2\pi {\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)dx$

で与えられることを示し，この値を求めよ．

【６】　$3$個の赤玉と$n$個の白玉を無作為に環状に並べるものとする．このとき白玉が連続して$k+1$個以上並んだ個所が現れない確率を求めよ．ただし${\displaystyle \frac{n}{3}}\leqq k<{\displaystyle \frac{n}{2}}$とする．