1989　神戸大学　後期MathJax

【１】　次の[1]，[2]に答えよ．

[1]　平面$2x-y+3z-19=0$を$\alpha$とし，点$(0,1,2)$を通り$\alpha$に垂直な直線を$l$とする．$l$と$\alpha$との交点$\mathrm{P}$の座標，および点$\mathrm{P}$と原点$(0,0,0)$との距離$d$を求めよ．

【１】　次の[1]，[2]に答えよ．

[2]　$4x^2+y^2-8x+4y+4=0$で表される曲線の概形を図示せよ．また，この曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を直線$x=1$のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　行列$\left(\begin{array}{cc}3& m\\ -2& 5\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とし，$f(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}\text{，}\left|\overrightarrow{v}\right|=1$をみたすベクトル$\overrightarrow{v}$があるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$m$の値とベクトル$\overrightarrow{v}$を求めよ．

(2)　原点を通る直線で，$f$によって自分自身に移される$2$つの直線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$直線の方向ベクトルで$y$成分が$1$であるものを，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$とする．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{x}$は$\overrightarrow{x}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}$と表される．そこで，$1$次変換$g\text{，}h$をそれぞれ

$g:\overrightarrow{x}⟶\alpha \overrightarrow{a}\text{，}h:\overrightarrow{x}⟶\beta \overrightarrow{b}$

で定義する．$1$次変換$g\text{，}h$を表す行列を，それぞれ$G\text{，}H$とするとき，積$GH$および和$G+H$を求めよ．

【３】　次の$2$つの不等式

$\begin{array}{ll}{\log }_{2}y\geqq 3{\log }_{2}x& \cdots \text{①}\\ y\leqq x+6& \cdots \text{②}\end{array}$

をみたす点$(x,y)$の存在領域を図示せよ．また，$x\text{，}y$が$\text{①}$と$\text{②}$をみたすとき，$y-2x$の最大値，最小値があればそれらを求めよ（ただし，なければ解答欄になしと書け）．

【２】　$E$を単位行列とし，関係式$A^3=E$をみたす行列のうち，成分が実数のものを求める．下記の空欄ア〜ケにあてはまる数値，数式または行列を解答欄に記入せよ．

　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とするとき，$A^3=E$より，$ad-bc=1$であることがわかる．そこで，$a+d=p$とおくとき，

$A^2-pA+\boxed{\text{ア}}E=O\cdots \text{①}$

が成立する．ここで，$O$は零行列を表す．

　多項式$x^3-1$を多項式$x^2-px+\boxed{\text{ア}}$で割って，

$x^3-1=(x^2-px+\boxed{\text{ア}})(x+p)+\boxed{\text{イ}}x-\boxed{\text{ウ}}$

従って，次の等式が成立する．

$A^3-E=(A^2-pA+\boxed{\text{ア}}E)(A+pE)+\boxed{\text{イ}}A-\boxed{\text{ウ}}E$

与えられた条件と$\text{①}$より，

$\boxed{\text{イ}}A-\boxed{\text{ウ}}E=O$

となる．よって，

$\boxed{\text{ウ}}(\boxed{\text{エ}}A-E)=O$

すなわち，$p=\boxed{\text{オ}}$または$\boxed{\text{エ}}A=E$

　$p=\boxed{\text{オ}}$のとき，$A^2+\boxed{\text{カ}}A+\boxed{\text{ア}}E=O$で，行列の成分が実数でありことより，

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}a+d=\boxed{\text{オ}}\text{，}ad-bc=1$

　$\boxed{\text{エ}}A=E$のときは，これを$\text{①}$に代入して，$\boxed{\text{キ}}E=O\text{．}$よって，$p=\boxed{\text{ク}}\text{．}$これより，$A=\boxed{\text{ケ}}$となる．

【３】　$x$についての$2$次方程式

$(k+1)!x^2-(k-1)!x+k=0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

の$2$つの解を$a_{2k-1}\text{，}{a}_{2k}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$S=a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots +a_{2n-1}+a_{2n}$を$n$の式で表せ．

(2)　$T=a_1{a}_2+a_3{a}_4+\cdots +a_{2n-1}{a}_{2n}$を$n$の式で表せ．

【４】　次の式で与えられる曲線がある．

$x=\tan \theta \text{，}y={\cos }^2\theta$

ここで，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$y$を$x$だけの関数として表せ．

(2)　(1)で求めた関数のグラフの変曲点の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた変曲点を通る$y$軸に平行な直線，$x$軸およびこの曲線でかこまれる部分の面積$S$を求めよ．

【５】　$h(x)$を微分可能な関数とする．連続関数$f(x)$に対して，

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}h(x-t)f(t)dt\cdots \text{①}$

とおく．任意の$f(x)$に対して，$F(x)$が微分方程式

${\displaystyle \frac{dF(x)}{dx}}=f(x)-aF(x)\cdots \text{②}$

の解となるとき，関数$h(x)$を求める．次の空欄ア〜コにあてはまる数式または数値を解答欄に記入せよ．

　まず，$f(x)$を恒等的に$1$としておく．$u=x-t$と変数変換すると，

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}h(x-t)dt=\boxed{\text{ア}}$

となる．これを微分すると，${\displaystyle \frac{dF(x)}{dx}}=\boxed{\text{イ}}$だから，$\text{②}$より

$h(x)=\boxed{\text{ウ}}\cdots \text{③}$

となる．$\text{③}$の両辺を微分して，$y=h(x)$についての微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\boxed{\text{エ}}\cdots \text{④}$

が得られる．

　$\text{③}$から，$h(0)=\boxed{\text{オ}}$が求められる．この初期条件のもとで$\text{④}$を解くと，

$h(x)=\boxed{\text{カ}}$

となる．逆に，この$h(x)$を$\text{①}$へ代入し，

$F(x)=\boxed{\text{キ}}$

これを微分して，

${\displaystyle \frac{dF(x)}{dx}}=-a\boxed{\text{ク}}{\displaystyle {\int }_0^x}\boxed{\text{ケ}}dt+\boxed{\text{コ}}$

となり，$\text{②}$をみたすことがわかる．以上により，$h(x)=\boxed{\text{カ}}$に限られることがわかった．