1990　京都大学　前期

【１】　$2$つの曲線$y=x^3-x$と$y=x^2-a$$\text{（}a>0\text{）}$が$1$点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$において共通の接線をもっている．このとき

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$2$つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle B}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{B}$の対辺の長さ$b$は整数，他の$2$辺の長さ$a\text{，}$$c$はいずれも素数である．このとき三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表わされる$1$次変換を$f\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$で表わされる$1$次変換を$g$とする．

(1)　どんなベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}$に対しても，内積の間に$f(\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot g(\overrightarrow{v})$の関係が成り立つことを示せ．

(2)　$f$が原点$\mathrm{O}$を通る直線$l$をそれ自身にうつすとする．$l$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}\text{，}$$g$による像を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の(イ)(ロ)のいずれかが成り立つことを示せ．

(イ)　$\mathrm{Q}=\mathrm{R}$

(ロ)　$3$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{O}$は直角三角形の頂点となる．

【４】　$f(x)={(x-1)}^3+x\text{，}$$f_1(x)=f(x)$とし，$n\geqq 2$に対して，$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$とする．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　どんな$n$$\text{（}\geqq 1\text{）}$についても，$f_n(x)=x$の解は$x=1$に限ることを示せ．

【５】　正$N$角形$\text{（}N\geqq 3\text{）}$の頂点に$0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$N-1$と時計まわりに番号がつけてある．頂点$0$を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を$X$とする．次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点$X$から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を$Y$とする．

　このようにして定めた確率変数$X\text{，}$$Y$について

(1)　$N=5$のとき，$X\text{，}$$Y$は互いに独立か．

(2)　$N=6$のとき，$X\text{，}$$Y$は互いに独立か．

　ただし確率変数$X\text{，}$$Y$が互いに独立であるとは，$X=i$となる確率$P(X=i)$と$X=i$かつ$Y=j$となる確率$P(X=i,Y=j)$との間に，次の等式(＊)が任意の$i\text{，}$$j$$\text{（}0\leqq i\text{，}$$j\leqq N-1\text{）}$について成り立つことである．

(＊)　$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$

【１】　$2$つの曲線$y=x^3-x$と$y=x^2-a$が$1$点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$において共通の接線をもっている．この$2$つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　半径$1\text{，}$$1-2r$の同心円の間に半径$r$の円が$n$個，互いに交わらずに入っているという状態を考える．$n$$\text{（}\geqq 2\text{）}$を固定した上で，$r$を変化させる．

(1)　$r$は$0<r\leqq {\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}{1+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}}$の範囲になければならないことを示せ．

(2)　これら$n+2$個の円の面積の総和が最小となる$r$の値を求めよ．

【５】　正$N$角形の頂点に$0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$N-1$と時計まわりに番号がつけてある．頂点$0$を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を$X$とする．次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点$X$から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号を$Y$とする．

　このようにして定めた確率変数$X\text{，}$$Y$について

(1)　$N=5\text{，}$$6$のとき，$X\text{，}$$Y$は互いに独立か．

(2)　$X\text{，}$$Y$が互いに独立となる$N$$\text{（}N\geqq 3\text{）}$をすべて定めよ．

　ただし確率変数$X\text{，}$$Y$が互いに独立であるとは，$X=i$となる確率$P(X=i)$と$X=i$かつ$Y=j$となる確率$P(X=i,Y=j)$との間に，次の等式(＊)が任意の$i\text{，}$$j$$\text{（}0\leqq i\text{，}$$j\leqq N-1\text{）}$について成り立つことである．

(＊)　$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)$

【６】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$を内部に含む楕円$D\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$がある．$D$上の$1$点$\mathrm{P}$$(0,b)$から$C$に$1$つの接線をひき，その延長が再び$D$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$から$C$に$\mathrm{PQ}$とは異なる接線をひき，その延長が再び$D$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$から$C$に$\mathrm{QR}$と異なる接線をひき，その延長が再び$D$と交わる点を$\mathrm{S}$とすると，$S=\mathrm{P}$となった．このとき$a$を$b$の関数として表わせ．