1990　京都大学　後期

【１】　$\mathrm{O}$を原点とし，$y=x^3-x$のグラフを$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$${\mathrm{P}}^{\prime }$は線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$が直交するように$C$上を動き，$\mathrm{P}$は第$1$象限，${\mathrm{P}}^{\prime }$は第$2$象限にある．$C$と$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積を$S\text{，}$$C$と$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$で囲まれた部分の面積を$S^{\prime }$とする．${\displaystyle \frac{S}{S^{\prime }}}$の最小値を求めよ．

【２】　平面上の$2$定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対し，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を直径とする円周上を動く．直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と同じ側に$3$点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$を次の$2$条件をみたすようにとる．

(イ)　$\mathrm{▵CB}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{▵AC}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{▵AB}{\mathrm{C}}^{\prime }$はいずれも正三角形である．

(ロ)　$\mathrm{▵CB}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{▵AC}{\mathrm{B}}^{\prime }$は$\mathrm{▵ABC}$と重なりがない．

　このとき，四辺形$\mathrm{C}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積が最大となる$\theta =\mathrm{\angle CAB}$の値を求めよ．

【３】　$15$本のくじの中に当たりくじが$2$本ある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が次のようにしてこのくじをひく．まず$\mathrm{A}$が$5$本まで順にひき，$k$本目$\text{（}1\leqq k\leqq 5\text{）}$に当たりくじをひいたら，ひくのをやめて，残ったくじから$5-k$本のはずれくじを取り除く．次に$\mathrm{B}$が残りの$10$本の中から$5$本まで順にひいて，$k$本目に当たったら，ひくのをやめて，$5-k$本のはずれくじを取り除く．$\mathrm{C}$は残る$5$本の中に当たりくじがあれば当たりとなる．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が当たりくじをひく確率$P_{\mathrm{A}}\text{，}$$P_{\mathrm{B}}\text{，}$$P_{\mathrm{C}}$を求めよ．

【４】　座標空間に$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があって毎秒$1$の速さで，それぞれ

点$\mathrm{P}$は原点$(0,0,0)$を出発して$x$軸上を正の方向へ，

点$\mathrm{Q}$は点$(2,0,0)$を出発して$y$軸と平行に正の方向へ，

点$\mathrm{R}$は点$(2,2,0)$を出発して$z$軸と平行に正の方向へ

進む．このとき

(1)　三角形$\mathrm{PQR}$は常に二等辺三角形であることを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$が最小となるのは何秒後か．

【５】　平面上に$2$つの円$C\text{，}$$C^{\prime }$がある．$1$次変換$f$は逆変換をもち，かつ$C$を$C^{\prime }$にうつしている．

(1)　$l$を$C$上の$1$点$\mathrm{P}$における接線とする．このとき$l$の$f$による像$l^{\prime }$は点$f(\mathrm{P})$における$C$の接線である．この理由を述べよ．

(2)　$\mathrm{A}$を$C$の中心とすれば，$f(\mathrm{A})$は$C^{\prime }$の中心となる．この理由を述べよ．

【１】　$f(x)$はすべての実数$x$で定義された関数で$f^{″}(x)>0$をみたすとする．実数$a$を$1$つ固定して，新しい関数$g(x)$を

$g(x)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}& \text{(}x\ne a\text{）}\\ f^{\prime }(a)& \text{（}x=a\text{）}\end{array}$

と定義する．このとき$g(x)$は増加関数であることを示せ．

【２】　$n$を奇数とし，$f(x)=|\sin {\displaystyle \frac{2\pi x}{n}}|$とする．

(1)　集合$\{f(k)|k\text{は整数}\}$は何個の要素を持つか．

(2)　$m$を$n$と素な整数とすると．集合$\{f(mk)|k\text{は}0\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{n-1}{2}}\text{なる整数}\}$は$m$によらず一定であることを示せ．

【３】　関数$y=\log x$のグラフ上の$1$点$\mathrm{P}$$(s,\log s)$$\text{（}s\geqq 1\text{）}$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．グラフ上に定点$\mathrm{A}$$(1,0)$をとる．$\mathrm{AP}$間のグラフの長さを$\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\overline{\mathrm{PQ}}$とし，$t=\overline{\mathrm{PQ}}-\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}$とする．$t$は$s$の関数である：$t=t(s)\text{．}$

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\mathit{ds}}}$を$s$で表わせ．また$t$は$s$の減少関数であることを示せ．

　$t_0=\underset{s\to \infty }{\lim }t$とおく．以下$t_0<t\leqq t(1)$の範囲で考える．

(2)　$u={\displaystyle \frac{1}{s}}\text{，}$$v=\sqrt{1+u^2}$とおくとき，${\displaystyle \frac{\mathit{du}}{\mathit{dt}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dv}}{\mathit{dt}}}$を$u$の関数として表わせ．

(3)　$u$を$t$の関数として表わせ．また，$t_0$の値を求めよ．

【４】　座標空間に$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があって毎秒$1$の速さで，それぞれ

点$\mathrm{P}$は原点$(0,0,0)$を出発して$x$軸上を正の方向へ，

点$\mathrm{Q}$は点$(2,0,0)$を出発して$y$軸と平行に正の方向へ，

点$\mathrm{R}$は点$(2,2,0)$を出発して$z$軸と平行に正の方向へ

進む．このとき三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$が最小となるのは何秒後か．

【６】　$n$本のくじの中に$1$本だけ当たりくじがある．このくじを無作為に$1$本ひき，ひいたくじをもとに戻すという試行を$l$回くり返す．$l$回のうち当たった回数を$X$とする．確率変数$X_i$$\text{(}1\leqq i\leqq l\text{)}$を次により定める．

$X_i=\{\begin{array}{ll}1& i\text{回目に当たりくじがでたとき，}\\ 0& i\text{回目に当たりくじがでないとき．}\end{array}$

(1)　確率変数$X$を$X_i$$\text{（}1\leqq i\leqq l\text{）}$で表わせ．

(2)　$X^2$の期待値$E(X^2)$を求めよ．

(3)　$E(X^2)>2$となる最小の$l$は何か．

【１】　曲線$y=x^4-6x^2$に，点$(a,b)$を通る$4$つの接線が引けるのは，$(a,b)$がどのような範囲にあるときか，図示せよ．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{a-\cos x}{x^2}}$が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で増加関数となるような定数$a$のうち最大のものを求めよ．

【３】　関数$y=\log x$のグラフ上の$1$点$\mathrm{P}$$(s,\log s)$$\text{（}s\geqq 1\text{）}$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．グラフ上に定点$\mathrm{A}$$(1,0)$をとる．$\mathrm{AP}$間のグラフの長さを$\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\overline{\mathrm{PQ}}$とし，$t=\overline{\mathrm{PQ}}-\stackrel{⏜}{\mathrm{AP}}$とする．$t$は$s$の関数である．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\mathit{ds}}}$を$s$で表わせ．

(2)　$u={\displaystyle \frac{1}{s}}\text{，}$$v=\sqrt{1+u^2}$とおくとき，${\displaystyle \frac{\mathit{du}}{\mathit{dt}}}$および${\displaystyle \frac{\mathit{dv}}{\mathit{dt}}}$を$u$の関数として表わせ．

(3)　$u$を$t$の関数として表わせ．