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1991-10541-0201
1991 京都大学 後期
文系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 原点 O を中心とする単位円周上に相異なる点 P1 , P 2 , P3 ,P 4 があって O P1 →+ O P2 →+ O P3 → +O P4 → =0→ となっている.このとき P1 , P 2 , P3 , P4 はある長方形の頂点となることを示せ.
1991-10541-0202
【2】 平面上の正方形の列 S n ( n=1 , 2 ,⋯ ) を次の条件(ⅰ)〜(ⅳ)を満たすようにとる.
(ⅰ) Sn の 1 つの辺は x 軸に含まれる.
(ⅱ) Sn の 1 つの頂点は双曲線 x ⁢y=1 上にある.
(ⅲ) Sn+ 1 は S n と異なり, Sn+ 1 の 1 つの辺は S n のある辺に含まれる.
(ⅳ) S1 の頂点は ( 0,0 ), ( 0,1 ), ( 1,0 ), (1 ,1) である.
S1 の頂点で x ⁢y=1 上にあるものの座標を ( xn, yn ) とする.このとき xn2 ≧n となることを示せ.
1991-10541-0203
【3】 C を 3 次曲線 y =x3 +3⁢ x2 とする. C 上の点 P ( p,q ) に対し「 C 上の点 Q が存在して, C の P における接線は C の Q における接線と直交する」となるような p の範囲を求めよ.
1991-10541-0204
文系,理系共通
【4】 平面上で次の方程式 ① を満たす点全体の集合を C1 ,② を満たす点全体の集合を C 2 とする.
x2 +y2 -1=0 ⋯ ①
10⁢x 2+14 ⁢x⁢y +5⁢ y2= 1 ⋯②
(1) a ,b , c ,d は負でない整数で a ⁢d-b ⁢c>0 を満たしている.さらに A =( ab cd ) の定める 1 次変換 f が C 2 を C 1 に写している.すなわち f ⁡( C2) =C1 である.このとき a , b ,c , d を求めよ.
(2) C2 上の点で x 座標, y 座標とも整数であるものは何個あるか.
1991-10541-0205
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【5】 1 から n までの相異なる n 個の自然数( n ≧4 )の中から無作為に 2 個を取り出し,大きい方を X1 , 小さい方を Y 1 とする.つぎに残りの ( n-2 ) 個の自然数の中から無作為に 2 個を取り出し,大きい方を X2 , 小さい方を Y 2 とする.
(1) X1 +Y1 の期待値を求めよ.
(2) X1 の期待値を求めよ.
(3) Y2 の期待値を求めよ.
1991-10541-0206
理学部
配点35点
【1】 f⁡( x) は x に関する n 次の整式(多項式)とする( n ≧0 ).
(1) 2 変数 x , y の整式として
f⁡( x+y) =P0 ⁡(x )+P 1⁡( x)⁢ y+P2 ⁡( x)⁢ y2+ ⋯+Pn ⁡(x )⁢y n
と書き表す.たfだし Pi⁡ (x ) ( n=0 ,1 , 2 ,⋯ , n ) は x に関する整式である.このとき
P0 ⁡(x )=f ⁡(x ), P1 ⁡(x )=f ′⁡( x) ,P 2⁡( x)= 1 2⁢ f″ ⁡( x)
かつ Pn⁡ (x )= 「 f⁡( x) における xn の係数」
であることを示せ.
(2) ある定数 a があって, f⁡( x+y) -f⁡( x)= y⁢f′ (x+ c⁢y ) が成立すれば f ⁡(x ) の次数は 2 以下であることを示せ.
1991-10541-0207
【2】 整数を係数とする 3 次の多項式 f ⁡(x ) が次の条件(*)を満たしている.
(*) 任意の自然数 n に対し f ⁡( n) は n ⁢(n +1) ⁢(n +2) で割り切れる.
このとき,ある整数 a があって, f⁡( x)= a⁢x⁢ (x+ 1)⁢ (x+ 2) となることを示せ,
1991-10541-0208
医,薬,工,農学部
【1】 -1≦ x≦1 で定義された関数 y =f⁡ (x ) は次の(ⅰ),(ⅱ)を満たしている.
(ⅰ) sin⁡f ⁡(x )=1 -x2
(ⅱ) 0≦f ⁡(x )≦ π 2
(1) x を y の関数として表し, y=f⁡ (x ) のグラフの概形をかけ.
(2) y=f⁡ (x ) のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
1991-10541-0209
【2】 1 辺の長さ 2 ⁢cm の正 4 面体を, 1 つの面を下にして水平面上に置く.この正 4 面体の各辺の中点を頂点とする正 8 面体 H を中空の容器と考える.
(1) 容器 H の高さ h0⁢ ( cm ) を求めよ.
(2) 水を毎秒 1 ⁢ cm 3 の割合で H に注入するとき,水面の高さが h ⁢ cm ( 0≦h≦ h0 ) になるまでに要する時間 t (秒)を求めよ.
1991-10541-0210
理系
【3】 空間に原点を始点とする長さ 1 のベクトル a→ , b→ , c→ がある. a→ , b→ のなす角を γ , b→ , c→ のなす角を α , c→ , a→ のなす角を β とするとき,つぎの関係の成立することを示せ.またここで等号の成立するのはどのような場合か.
0≦cos 2⁡α +cos2 ⁡β+ cos2⁡ γ-2⁢ cos⁡α⁢ cos⁡β⁢ cos⁡γ ≦1
1991-10541-0211
【6】(1) 任意の定数 a に対して ex≧ ea+ (x- a)⁢ ea が成り立つことを示せ.
(2) ∫ 01 esin⁡ π⁢x ⁢dx ≧e 2π を示せ.