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1994-10541-0201
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1994 京都大学 後期
文系,理系共通
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 a+b+ c=0 を満たす実数 a ,b ,c について,
( | a|+ |b |+ |c | ) 2 ≧2⁢ (a2 +b2 +c2 )
が成り立つことを示せ.
また,ここで等号が成り立つのはどんな場合か.
1994-10541-0202
文系
【2】 a ,b ,c ,d を整数とし,行列 A= ( ab cd ) を考え,自然数 n に対して A n=( an bn cn dn ) とする.このとき,
(1) cn+ 2-( a+d)⁢ cn+ 1+( a⁢d- b⁢c) ⁢cn =0 を示せ.
(2) p を素数とし, a⁢d- b⁢c は p で割り切れないものとする.
ある自然数 k について, ck と c k+1 が p で割り切れるならば,すべての n について cn は p で割り切れることを示せ.
1994-10541-0203
【3】 xy 平面上で,円 C: x2+ y2= 1 の外部にある点 P( a,b) を考える.
点 P から円 C に引いた 2 つの接線の接点を Q 1, Q2 とし,線分 Q 1Q2 の中点を Q とする.
点 P が円 C の外部で, x⁢(x -y+1 )<0 を満たす範囲にあるとき,点 Q の存在する範囲を図示せよ.
1994-10541-0204
【4】 3 人の選手 A ,B ,C が次の方法で優勝を争う.
まず A と B が対戦する.そのあとは,一つの対戦が終わると,その勝者と休んでいた選手が勝負をする.このようにして対戦をくり返し,先に 2 勝した選手を優勝者とする.( 2 連勝でなくてもよい.)
各回の勝負で引き分けはなく, A と B は互角の力量であるが, C が A ,B に勝つ確率はともに p である.
(1) 2 回の対戦で優勝者が決まる確率を求めよ.
(2) ちょうど 4 回目の対戦で優勝者が決まる確率を求めよ.
(3) A ,B ,C の優勝する確率が等しくなるような p の値を求めよ.
1994-10541-0205
【5】 2 次式 f⁡ (x)= 3⁢x2 +2⁢ a⁢x+ 1 に対し
∫ -22 ⁡( x+2) ⁢f⁡( x)⁢d x=4 ∫ c2⁡ f⁡(x )⁢dx
を満たす c が -2< c<2 の範囲に存在することを示せ.
1994-10541-0206
理系
配点35点
【2】 a ,b ,c ,d を整数とし,行列 A= (a bc d ) を考える.
( a0 b0 c0 d0 ) =( 10 0 1 ) とし,自然数 n に対して A n=( an bn cn dn ) とする.このとき,
(1) n≧0 について, cn+ 2-( a+d) ⁢cn +1+ (a⁢d -b⁢c )⁢cn =0 を示せ.
(2) p を素数とし, a+d は p で割り切れないものとする.
1994-10541-0207
【3】 xy 平面上で, (1,1 ) を中心とする半径 1 の円を C とする. P ,Q はそれぞれ x 軸, y 軸の正の部分にある点で,線分 PQ が円 C に接しているとする.
正三角形 PQR を第 1 象限に描くとき,頂点 R の座標 (a, b) について, a ,b の間に成り立つ関係式を求めよ.
1994-10541-0208
【5】 実数 r は 2⁢ π⁢r> 1 を満たすとする.半径 r の円の周上に 2 点 P ,Q を,弧 PQ の長さが 1 になるようにとる.点 R が弧 PQ 上を P から Q まで動くとき,弦 PR が動いて通過する部分の面積を S⁡ (r) とする.
r が変化するとき,面積 S⁡ (r) の最大値を求めよ.
1994-10541-0209
【6】 n を自然数とし, In= ∫ 1e⁡ (log⁡ x)n ⁢dx とおく.
(1) In+ 1 を In を用いて表せ.
(2) すべての n に対して
e -1n +1 ≦In ≦ (n+1 )⁢e+ 1(n +1)⁢ (n+2 )