1995　東京大学　後期MathJax

【１】　パスカル$3$角形の第$n$行の部分和

$P_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{n}C_{3k}\text{，}{Q}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{n}C_{3k+1}\text{，}{R}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{n}C_{3k+2}$

として数列$\{P_n\}\text{，}\{Q_n\}\text{，}\{R_n\}$を定義する．ただし，$k>n$のとき${}_{n}C_k=0$とする．

(1)　$P_{n+1}\text{，}{Q}_{n+1}\text{，}{R}_{n+1}$を$P_n\text{，}{Q}_n\text{，}{R}_n$の式として表せ．

(2)　一般項$P_n\text{，}{Q}_n\text{，}{R}_n$を求めよ．

(3)　$P_{12}\text{，}{Q}_{12}\text{，}{R}_{12}$を求めよ．

【２】　平面上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離は$1$であるとする．このとき，次の(条件)をみたす$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の最大値を求めたい．

(条件)　$3$角形$\mathrm{ABC}$は与えられた平面上にあり，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から$\mathrm{P}$までの距離または$\mathrm{Q}$までの距離のうち，少なくとも一方は$1$以下である．

(1)　$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円周を$E\text{，}\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の円周を$F$とする．上の(条件)の下で最大面積をもつ$3$角形の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$はそれぞれ$E$または$F$の上にあることを示せ．

(2)　この二つの頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は円周$E$上にあるとして，この円の中心$\mathrm{P}$から弦$\mathrm{AB}$におろした垂線の長さを$p$とする．$p$を固定したとき，(条件)をみたす$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$が最大となるならば，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$は直交することを示せ．

(3)　(条件)をみたす$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$の最大値を求めよ．

【３】　$1$から$13$まで，それぞれ違った数字が書かれたカードが$1$枚ずつ$13$枚ある．このカードを使って，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のルールでゲームをする．

○　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は最初に$2$枚ずつカードをもつ．相手のカードの数字は見えない．

○　まず，$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを数字が見えるようにして出し，$\mathrm{B}$はそれを見て$1$枚のカードを出す．数字の大きいカードを出した者が$1$点を得る．

○　次に，残りのカードを出しあって，数字の大きいカードを出した者が$1$点を得る．

○　この際，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はおのおのの得点が最大になるようにカードを出すものとする．

(1)　カードが配られた後，$\mathrm{A}$は手持ちのカードのうち，数字が大きいものを最初に出した方が有利か，不利か，あるいはどちらを出しても同じか．

(2)　$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に無作為に$2$枚ずつカードを配った場合，$\mathrm{A}$の得る点数の期待値を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$はカードの数字の合計が$14$となるような$2$枚のカードを最初に選んで持っているものとする．$\mathrm{B}$は残りのカードから無作為に$2$枚のカードを選んでゲームを行なう．この場合，$\mathrm{A}$ははじめにどのようにカードを選べば$\mathrm{A}$の得る点数の期待値が最大となるか，また最小となるか．それぞれの場合の得点の期待値を求めよ．