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1996-10541-0101
1996 京都大学 前期
文系,理系共通
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面の原点 O を中心とし半径 1 の円 C 上に定点 A をとる.同じ円上の点 X に対し,平面上の点 Y を
OY→ =OA→ -2⁢ (OA →⋅ OX→ )⁢ OX→
で定める.ただし, OA→ ⋅OX → は OA → と OX → の内積である.このとき
(1) |OY →| =1 であることを示せ.
(2) OY→ =-OA → となる点 X をすべて求めよ.
(3) 点 X が円 C を 1 回まわるとき,点 Y は同じ円を 2 回まわることを示せ.
1996-10541-0102
文系
【2】 0<a ≦b をみたす実数 a , b に対し,数列 { an } , {b n} を
a1 =a ,b 1=b , an =an -1⁢ bn- 1 , bn = an- 1+ bn-1 2 ( n≧2 )
によって定める.
(1) すべての自然数 n に対し, an ≦an +1 ≦bn +1 ≦bn が成り立つことを示せ.
(2) すべての自然数 n に対し
bn+ 1- an+1 ≦ 18⁢ an ⁢ ( bn- an) 2
が成り立つことを示せ.
(3) a=100 , b=900 のとき, bn -an <4 をみたす最小の n を求めよ.
1996-10541-0103
【3】 各成分が 0 以上の整数である行列 A で, A3 =A をみたすものをすべて求めよ.
1996-10541-0104
【4】 正の実数 a に対し,実数全体で定義される関数 g ⁡(x ) を
g⁡( x)= ∫ -22 | x-t| ⁢( t2- a2 )⁢d t
で定める.このとき, g⁡( x) が最小値を持つような a の範囲を求めよ.また a がそのような範囲にあるとき, g⁡( x) の最小値を a を用いて表せ.
1996-10541-0105
30点
【5】 点 O を中心とする円周の 6 等分点を P1 , P 2 ,⋯ , P 6 とする.サイコロを 3 回振り,出た目が順に i , j ,k のときの得点を次のように定める. i ,j , k の中に同じものがあれば 0 点とする. i ,j , k がすべて異なるときは,円の中心 O が三角形 ▵ Pi P jP k の内部にあれば 3 点,辺上にあれば 2 点,外部にあれば 1 点とする.得点の期待値を求めよ.
1996-10541-0106
理系
配点35点
【2】 xyz 空間の 3 点 A ( 1,0, 0) ,B ( 0,1, 0) ,C ( 0,0, 1) と, z=0 で表される平面上の直線 l :x+y =0 の上を動く点 P ( t,-t ,0) を考える.点 A を通り,直線 l に垂直な平面を α とする. t> 12 のとき, 4 面体 ABCP と平面 α が交わってできる図形の面積 S ⁡(t ) の最大値を求めよ.
1996-10541-0107
【3】 平面上の 1 次変換 f に対し, f⁡( v→ )≠ v→ かつ f3⁡ (v →) =v→ となるベクトル v → が存在するならば, f3 は恒等変換であることを示せ.ただし f3= f∘( f∘f ) である.
1996-10541-0108
【4】 与えられた自然数 k に対し,数列 { an } を
a1 =0 ,a n= [ an- 1+k 3 ] ( n≧2 )
によって定める.ただし実数 t に対し [ t] は t を超えない最大の整数を表す.
(1) k=8 および k =9 のとき,数列 { an } を求めよ.
(2) すべての自然数 n に対し,次の 2 つの不等式
an ≦ k-1 2 , an ≦a n+1
(3) an =an +1 ならば, n 以上のすべての整数 m に対し an= am であることを示し,このときの a n の値を求めよ.
1996-10541-0109
【5】 xy 平面上の正三角形 ▵ ABC を考える. ▵ABC の重心は原点 O にあり,ベクトル OA → の長さは 1 とする. ▵ABC の内部または辺上の点 P0 に対し, 3 頂点 A , B ,C から 1 点を等確率 13 で選び,この頂点と P0 の中点を P1 とする.次に点 P1 に対して同様の操作を行い得られた点を P2 とし,以下この操作を繰り返して,点 P3 , P 4 ,⋯ , P n を作る.ベクトル OPn→ の長さの 2 乗 | OPn → |2 の期待値を E n とおく.
(1) E1 をベクトル OP0→ の長さを用いて表せ.
(2) 選んだ頂点が X1 , X 2 ,⋯ , X n のとき,ベクトル OPn→ をベクトル OP0→ と OXi→ , i=1 , 2 ,⋯ , ⋯ ,n , を用いて表せ.
(3) P0 が原点 O のとき E n を求めよ.
1996-10541-0110
【6】 ガソリンを x ⁢kg 積んだ状態で時速 v ⁢km で走るとき,毎時 100 +x100 ⁢ ekv ⁢kg のガソリンを消費する車がある.ここで k は正の定数である.この車を用いて 100 ⁢km 離れた地点へ一定速度で行くとき,ガソリンの消費量を最小にするには,最初に積むガソリンの量と走行速度をどのようにすればよいか.ただし,ガソリンが無くなれば車は直ちに停止するものとする.