1996　大阪市立大学　A・前期MathJax

【１】　次の条件$\text{①，②}$を共に満たす整数$m\text{，}n$と実数$\theta$の組$(m,n,\theta )$をすべて求めよ．

$\text{①}$　$1\leqq m\leqq n\text{，}0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$\text{②}$　角度$\theta$をなす$\overrightarrow{0}$でないベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で$2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=m{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=n{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$をみたすものがある．（ただし，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$はベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積を表す．）

【２】　$xyz$空間の$2$直線

$l_1\text{：}x=0\text{，}z=1$

$l_2\text{：}y=0\text{，}z=-1$

の両方に接しながら，球面

$S\text{：}{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2=9$

が動くものとする．（ただし，直線と球面は，$1$点のみを共有するとき「接する」という．）

(1)　$a$と$c\text{，}b$と$c$のみたす関係式をそれぞれ求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$と球面$S$の中心$\mathrm{P}(a,b,c)$の距離の最大値，最小値を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b^2\\ 1& a\end{array}\right)\text{，}U=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ {\displaystyle \frac{1}{b}}& 1\end{array}\right)\text{，}V=\left(\begin{array}{cc}1& -b\\ -{\displaystyle \frac{1}{b}}& 1\end{array}\right)$とおく．（ただし，$b\ne 0$とする．）

(1)　$AU=(a+b)U\text{，}AV=(a-b)V$であることを示せ．

(2)　$2A^n={(a+b)}^{n}U+{(a-b)}^{n}V\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　すべての正の整数$n$に対して，${(1+\sqrt{2})}^n+{(1-\sqrt{2})}^n$は偶数であることを示せ．

【４】　$a$を正の定数とし，関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}(t^2-a^2)dt$の$-1\leqq x\leqq 1$における最大値を$g(a)$とする．

(1)　$a\geqq 1$のとき$g(a)$を求めよ．

(2)　$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$g(a)$の最小値を求めよ．

【１】　実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が$\alpha +\beta +\gamma =3$をみたしているとし，$p=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta \text{，}q=\alpha \beta \gamma$とおく．

(1)　$p=q+2$のとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．

(2)　$p=3$のとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$はすべて$1$であることを示せ．

【２】　$xyz$空間において，定数$\theta$と媒介変数$t$を用いて$x=t\cos \theta \text{，}y=t\sin \theta \text{，}z=0$と表される直線を$l$とする．点$\mathrm{A}(4,0,3)$から直線$l$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta <\pi$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形をえがくか．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta <\pi$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{AP}$の長さの最大値，最小値を求めよ．

【３】　$x\geqq 0$に対して

$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2+x^{n+1})}{1+x^n}})$

とおく．

(1)　関数$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$のグラフの概形をかけ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}xf(x)dx$を計算せよ．

【４】　$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$のいずれか一方の状態になるものがある．$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$について，時刻$n$に状態$\mathrm{A}$であったものが，時刻$n+1$に状態$\mathrm{B}$に変わる確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$であり，時刻$n$に状態$\mathrm{B}$であったものが，時刻$n+1$に状態$\mathrm{A}$に変わる確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとする．時刻$0$では状態$\mathrm{A}$であるとして，次の問いに答えよ．

(1)　時刻$n$に状態$\mathrm{A}$である確率を$a_n$とする．$a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$を$a_{n-1}$で表せ．

(2)　時刻$n$と時刻$n+1$における状態が異なる確率を求めよ．

(3)　時刻$0$から時刻$n$までに状態が変化する回数の期待値を求めよ．