1998　東京大学　前期MathJax

1998-10261-0101

1998　東京大学　前期

文科・理科共通

易□　並□　難□

【１】　 $a$ は $0$ でない実数とする．関数

$f (x) = (3 x^{2} - 4) (x - a + \frac{1}{a})$

の極大値と極小値の差が最小となる $a$ の値を求めよ．

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1998　東京大学　前期

文科

易□　並□　難□

【２】　 $a ， b$ は実数で， $b \neq 0$ とする． $x y$ 平面に原点 $O (0, 0)$ および $2$ 点 $P (1, 0) ， Q (a, b)$ をとる．

(1)　 $▵ OPQ$ が鋭角三角形となるための $a ， b$ の条件を不等式で表し，点 $(a, b)$ の範囲を $a b$ 平面上に図示せよ．

(2)　 $m ， n$ を整数とする． $a ， b$ が(1)で求めた条件をみたすとき，不等式

${(m + n a)}^{2} - (m + n a) + n^{2} b^{2} ≧ 0$

が成り立つことを示せ．

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文科

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【３】(1)　 $x$ は $0 ° ≦ x ≦ 90 °$ をみたす角とする．

${\begin{matrix} \sin y = | \sin 4 x | \\ \cos y = | \cos 4 x | \\ 0 ° ≦ y ≦ 90 ° \end{matrix}$

となる $y$ を $x$ で表し，そのグラフを $x y$ 平面上に図示せよ．

(2)　 $α$ は $0 ° ≦ α ≦ 90 °$ をみたす角とする． $0 ° ≦ θ_{n} ≦ 90 °$ をみたす角 $θ_{n} ， n = 1 ， 2 ， \dots$ を

${\begin{matrix} θ_{1} = α \\ \sin θ_{n + 1} = | \sin 4 θ_{n} | \\ \cos θ_{n + 1} = | \cos 4 θ_{n} | \end{matrix}$

で定める． $k$ を $2$ 以上の整数として， $θ_{k} = 0 °$ となる $α$ の個数を $k$ で表せ．

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文科

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【４】　 $x y z$ 空間に $3$ 点 $A (1, 0, 0) ， B (- 1, 0, 0) ， C (0, \sqrt{3}, 0)$ をとる． $▵ ABC$ を $1$ つの面とし， $z ≧ 0$ の部分に含まれる正四面体 $ABCD$ をとる．さらに $▵ ABD$ を $1$ つの面とし，点 $C$ と異なる点 $E$ をもう $1$ つの頂点とする四面体 $ABDE$ をとる．

(1)　点 $E$ の座標を求めよ．

(2)　正四面体 $ABDE$ の $y ≦ 0$ の部分の体積を求めよ．

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1998　東京大学　前期

理科

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【２】　 $n$ を正の整数とする．連立不等式

${\begin{matrix} x + y + z ≦ n \\ - x + y - z ≦ n \\ x - y - z ≦ n \\ - x - y + z ≦ n \end{matrix}$

をみたす $x y z$ 空間の点 $P (x, y, z)$ で， $x ， y ， z$ がすべて整数であるものの個数を $f (n)$ とおく．極限

$\lim_{n \to \infty} \frac{f (n)}{n^{3}}$

を求めよ．

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1998　東京大学　前期

理科

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【３】　 $x y$ 平面に $2$ つの円

$C_{0} : x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} ， C_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

をとり， $C_{2}$ を $x$ 軸と $C_{0} ， C_{1}$ に接する円とする．さらに， $n = 2 ， 3 ， \dots$ に対して $C_{n + 1}$ を $x$ 軸と $C_{n - 1} ， C_{n}$ に接する円で $C_{n - 2}$ とは異なるものとする． $C_{n}$ の半径を $r_{n} ， C_{n}$ と $x$ 軸の接点を $(x_{n}, 0)$ として，

$q_{n} = \frac{1}{\sqrt{2 r_{n}}} ， p^{n} = q_{n} x_{n}$

とおく．

(1)　 $q_{n}$ は整数であることを示せ．

(2)　 $p_{n}$ も整数で， $p_{n}$ と $q_{n}$ は互いに素であることを示せ．

(3)　 $α$ を $α = \frac{1}{1 + α}$ をみたす正の数として，不等式

$| x_{n + 1} - α | < \frac{2}{3} | x_{n} - α |$

を示し，極限 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ を求めよ．

1998-10261-0107

1998　東京大学　前期

理科

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【４】　実数 $a$ に対して $k ≦ a < k + 1$ をみたす整数 $k$ を $[a]$ で表す． $n$ を正の整数として，

$f (x) = \frac{x^{2} (2 \cdot 3^{3} \cdot n - x)}{2^{5} \cdot 3^{3} \cdot n^{2}}$

とおく． $36 n + 1$ 個の整数

$[f (0)] ， [f (1)] ， [f (2)] ， \dots ， [f (36 n)]$

のうち相違なるものの個数を $n$ を用いて表せ．

1998-10261-0108

1998　東京大学　前期

理科

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【５】　 $θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ をみたす実数とする． $x y$ 平面にベクトル

$\vec{a} = (\cos θ, \sin θ) ， \vec{b} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

をとり，点 $P_{n} ， Q_{n} ， n = 1 ， 2 ， \dots$ を

${\begin{cases} \vec{O P_{1}} = (1, 0) \\ \vec{O Q_{n}} = \vec{O P_{n}} - (\vec{a} \cdot \vec{O P_{n}}) \vec{a} \\ \vec{O P_{n + 1}} = 4 {\vec{O Q_{n}} - (\vec{b} \cdot \vec{O Q_{n}}) \vec{b}} \end{cases}$

で定める．ただし， $O$ は原点で， $\vec{a} \cdot \vec{O P_{n}}$ および $\vec{b} \cdot \vec{O Q_{n}}$ はベクトルの内積を表す． $\vec{O P_{n}} = (x_{n}, y_{n})$ とおく．数列 ${x_{n}} ， {y_{n}}$ がともに収束する $θ$ の範囲を求めよ．さらに，このような $θ$ に対して，極限値

$\lim_{n \to \infty} x_{n} ， \lim_{n \to \infty} y_{n}$

を求めよ．

1998-10261-0109

1998　東京大学　前期

理科

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【６】　 $x y z$ 空間に $5$ 点 $A (1, 1, 0) ， B (- 1, 1, 0) ， C (- 1, - 1, 0) ， D (1, - 1, 0) ， P (0, 0, 3)$ をとる．四角錐 $PABCD$ の

$x^{2} + y^{2} ≧ 1$

をみたす部分の体積を求めよ．

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