1998　東京理科大学　理工学部物理，応用生物科，経営工学科MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ツ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(1)　空間にベクトル$\overrightarrow{a}=(1,1,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,1,-2)\text{，}\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$および$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{e_1}$があり，$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$に垂直であるという．

　このとき$t=-\boxed{\text{ア}}$である．$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角を$\theta$とすると$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

　また，ベクトル$\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{e_2}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\overrightarrow{c}$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ツ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(2)　実数$\theta$に対して，$2$次関数$y=x^2-4x\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\sin \theta +2$の最小値を$m(\theta )$とおく．

　$\sin \theta \text{，}\cos \theta$を用いて$m(\theta )$を表すと$m(\theta )=\boxed{\text{カ}}\sin \theta -\boxed{\text{キ}}\cos \theta$となる．$\theta$が実数全体を動くとき，$m(\theta )$の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．また，$\theta$が$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす第$2$象限の角であるとき，$m(\theta )={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ケ}}+\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{4}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ネ}}$から$\boxed{\text{ツ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$は漸化式

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=0& \\ a_n=(3p-1)a_{n-1}-1& \text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たすという．ただし，$p$は定数である．

　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$が等差数列になるのは$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$のときである．

　またこの数列が収束するためには，実数$p$が$\boxed{\text{セ}}<p<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$を満たすことが必要十分であって，このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{チ}}p-\boxed{\text{ツ}}}}$となる．

【２】　平面上の点$(x,y)$が放物線$C:y=x^2$の上を動くとき，$x^{\prime }=ax\text{，}{y}^{\prime }=ay+a+4$で与えられる点$(x^{\prime },y^{\prime })$の軌跡を$C^{\prime }$とする．ただし，$a>1$とする．

(1)　曲線$C^{\prime }$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$C^{\prime }$の交点を求めよ．

(3)　$C$と$C^{\prime }$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(4)　(3)で求めた面積を最小にする$a$の値と，そのときの面積を求めよ．

【３】　実数$t$に対して，$f(x)=tx-x\log x\text{（}x>0\text{）}$とおき，曲線$y=f(x)$を$C$とする．（ただし，対数は自然対数である．）曲線$C$上の点のうち$y$座標が最大となる点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．また，$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}(q,0)$とする．

(1)　$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_p^q}f(x)dx$を計算して，$t$の式で表せ．

(3)　実数$t$が$n$から$n+1$まで動くとき，曲線$C$の弧$\mathrm{PQ}$（曲線$C$の$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$までの部分）が通過してできる領域を図示し，その面積を求めよ．