1998　東京理科大学　理学部B方式数，物理，化学科MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)では，$0$から$99$までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている．空欄にあてはまる整数を求めて，(ア)から(タ)に適する$0$から$9$までの数字をそれぞれ解答用マークカードの指定された欄にマークせよ．

(1)　曲線

$y=x^3-6x^2+x+10$

および直線

$y=mx$

は異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$において交わり，しかも$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$はこの順に等間隔に並んでいるという．このとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(-\boxed{\text{(ア)}},\boxed{\text{(イ)}})\text{，}\mathrm{B}(\boxed{\text{(ウ)}},-\boxed{\text{(エ)}})\text{，}\mathrm{C}(\boxed{\text{(オ)}},-\boxed{\text{(カ)}\text{(キ)}})$であり，$m$の値は$-\boxed{\text{(ク)}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)では，$0$から$99$までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている．空欄にあてはまる整数を求めて，(ア)から(タ)に適する$0$から$9$までの数字をそれぞれ解答用マークカードの指定された欄にマークせよ．

(2)　頂点を$\mathrm{O}$とする正六角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{O}‐\mathrm{ABCDEF}$がある．底面（正六角形）の辺の長さを$1$とし，残りの辺の長さはすべて$2$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ケ)}}}{\boxed{\text{(コ)}}}}\text{，}$$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\boxed{\text{(サ)}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)では，$0$から$99$までのいずれかの整数が当てはまる空欄が用意されている．空欄にあてはまる整数を求めて，(ア)から(タ)に適する$0$から$9$までの数字をそれぞれ解答用マークカードの指定された欄にマークせよ．

(3)　$2$つのサイコロを同時に投げる試行を繰り返すとき，$3$回目にはじめて目がそろう確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(シ)}\text{(ス)}}}{\boxed{\text{(セ)}\text{(ソ)}\text{(タ)}}}}$

である．

【１】　(チ)に適するものを解答群の中から選び，その番号を解答用マークカードの指定された欄にマークせよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=n}^{2n}}{\displaystyle \frac{n+1}{n+k}})=\boxed{\text{(チ)}}$

(チ)の解答群

【２】　行列$A_0\text{，}B\text{，}C$を

$A_0=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& 3\end{array}\right)$

とし，$n\geqq 1$のとき，$A_n$を

$A_n=B{A}_{n-1}+C$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A_1$を求めよ．

(2)　$E$を単位行列とするとき，$C$を$B\text{，}E$で表せ．

(3)　$B^2$を$E$で表せ．

(4)　$n\geqq 1$のとき，$A_n$を$A_0\text{，}B\text{，}E$で表せ．

(5)　$A_{2n}\text{，}{A}_{2n+1}$を求めよ．

(6)　$A_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$を求めよ．

【３】　式

$x^4+y^2=x^2\cdots$(A)

を満たす平面上の点$(x,y)$について次の問いに答えよ．

(1)　(A)を満たす点のうちで$y$の値が最大となる点の座標を求めよ．

(2)　(A)を満たす$(x,y)$のグラフの概形をかけ．

(3)　$x^4+y^2\leqq x^2$となる部分の図形の面積を求めよ．

(4)　(3)の図形を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を求めよ．

(5)　(3)の図形を$y$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を求めよ．