1999　東京大学　後期MathJax

【１】(1)　$n$を正の整数とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において

$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin nx}{\sin x}}& -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}x\ne 0\\ c_n& x=0\end{array}$

とおくことにより定義される関数$f_n(x)$が，連続関数となるように定数$c_n$の値を求めよ．

(2)　$f_3(x)$は$\cos x\text{，}\cos 2x$等を用いて表せることを示し，定積分

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{f}_3(x)dx$

の値を求めよ．

(3)　任意の正の整数$n$に対して，定積分

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{f}_{2n+1}(x)dx$

の値を求めよ．

【２】　座標平面上の原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする．また$x$座標および$y$座標がともに整数であるような点を格子点という．

(1)　$t$を正の実数とする．点$\mathrm{P}(-1,0)$を通り，傾きが$t$の直線と単位円$x^2+y^2=1$との$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{Q}(t)$とする．$\mathrm{Q}(t)$の座標を求めよ．つぎに，$0<s<t$をみたす$2$つの実数$s\text{，}t$に対し，線分$\mathrm{Q}(s)\mathrm{Q}(t)$の長さを求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{Q}(s)\mathrm{PO}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{Q}(t)\mathrm{PO}=\beta$とし

$u=\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\text{，}v=\tan {\displaystyle \frac{\beta }{2}}$

とおく．もし$u\text{，}v$がともに有理数ならば，線分$\mathrm{Q}(s)\mathrm{Q}(t)$の長さもまた有理数となることを示せ．

(3)　任意に与えられた$3$以上の整数$n$に対し，つぎの条件(C1)，(C2)，(C3)をすべてみたす$n$個の異なる点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$が，座標平面上に存在することを証明せよ．

(C1)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$はすべて格子点である．

(C2)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$のどの異なる$3$点も一直線上にない．

(C3)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$のどの異なる$2$点${\mathrm{A}}_i\text{，}{\mathrm{A}}_j$に対しても，線分${\mathrm{A}}_i{\mathrm{A}}_j$の長さは整数である．

【３】　座標平面上にある$2$つの四角形$\mathrm{ABCD}$と${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$が相似であるとは，対応する$4$つの頂点における内角がそれぞれ等しく，かつ対応する辺の長さの比がすべて等しいこととする．このとき

$▭\mathrm{ABCD}\backsim ▭{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$

と書く．ただし，四角形$\mathrm{ABCD}$と書くときには，$4$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は図のようにつねに時計と反対回りに並んでいるものとし，また四角形は周および内部を込めて考えるものとする．

　四角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0{\mathrm{D}}_0$が与えられたとき，この四角形から出発して，任意の整数$n$に対して四角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$を以下のように帰納的に定める．

こうして定まった四角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n$を$K_n$と書くことにする．

さて，座標平面上の$3$点

${\mathrm{A}}_0(2,1)\text{，}{\mathrm{B}}_0(8,4)\text{，}\mathrm{P}(4,12)$

を考える．原点を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{OP}$上に原点以外の$1$点${\mathrm{C}}_0$をとる．点${\mathrm{A}}_0$から線分${\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0$に平行にひいた直線と，線分$\mathrm{OP}$と交点を${\mathrm{D}}_0$とする．このようにして定まる四角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0{\mathrm{D}}_0$から出発して，上記のようにして得られる四角形の系列

$\cdots \text{，}{K}_{-2}\text{，}{K}_{-1}\text{，}{K}_0\text{，}{K}_1\text{，}{K}_2\text{，}\cdots$

について考える．

(1)　$\angle {\mathrm{B}}_0\mathrm{OP}$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OP}$上のある点${\mathrm{C}}_0$をえらび，それにより定まる四角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0{\mathrm{D}}_0$から出発して，四角形の系列$\cdots \text{，}{K}_{-2}\text{，}{K}_{-1}\text{，}{K}_0\text{，}{K}_1\text{，}{K}_2\text{，}\cdots$を作ったところ，ある$0$でない整数$n$が存在して，$K_n=K_0$となったという．このとき，点${\mathrm{C}}_0$の座標を求めよ．また，$K_n=K_0$となる整数$n$の値をすべて求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OP}$上のある点${\mathrm{C}}_0$をえらび，それにより定まる四角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0{\mathrm{D}}_0$から出発して，四角形の系列$\cdots \text{，}{K}_{-2}\text{，}{K}_{-1}\text{，}{K}_0\text{，}{K}_1\text{，}{K}_2\text{，}\cdots$を作ったところ，これら四角形が座標平面から原点を除いた部分を，辺と頂点以外には互いに重なることなく，すき間なくおおったという．このような性質をもつ点${\mathrm{C}}_0$をすべて求め，それらの座標を記せ．またそれらの場合のおのおのについて，点$(100,50)$が$K_n$に含まれるような整数$n$の値をすべて求めよ．