1999　京都大学　前期

【１】　鋭角三角形$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$にひいた垂線を$\mathrm{AH}$とする．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{MH}$上に取るとき，

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2\geqq 2{\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$

となることを示せ．

【２】　放物線$y=x^2$の上を動く$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があって，この放物線と線分$\mathrm{PQ}$が囲む部分の面積が常に$1$であるとき，$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$が描く図形の方程式を求めよ．

【３】　$0$以上の整数$x$に対して，$C(x)$で$x$の下$2$桁を表すことにする．たとえば，$C(12578)=78\text{，}$$C(6)=6$である．$n$を$2$でも$5$でも割り切れない正の整数とする．

(1)　$x\text{，}y$が$0$以上の整数のとき，$C(nx)=C(ny)$ならば$C(x)=C(y)$であることを示せ．

(2)　$C(nx)=1$となる$0$以上の整数$x$が存在することを示せ．

【４】　相異なる$4$つの複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}{z}_4$に対して

$w={\displaystyle \frac{(z_1-z_2)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}$

と置く．このとき，以下を証明せよ．

(1)　複素数$z$が単位円上にあるための必要十分条件は

$\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$

である．

(2)　$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}{z}_4$が単位円上にあるとき，$w$は実数である．

(3)　$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$が単位円上にあり，$w$が実数であれば，$z_4$は単位円上にある．

【５】　$n\text{，}k$は自然数で，$n\geqq 3\text{，}k\geqq 2$を満たすものとする．いま，$n$角柱の$n+2$個の面に$1$から$n+2$までの番号が書いてあるものとする．この$n+2$個の面に$1$面ずつ，異なる$k$色の中から$1$色ずつ選んでは塗っていく．このとき，どの隣り合う面の組も同一色では塗られない塗り方の数を$P_k$で表す．

(1)　$P_2$と$P_3$を求めよ．

(2)　$n=7$のとき，$P_4$を求めよ．

【２】　平面上に$2$定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．$c$は正の定数として，平面上の点$\mathrm{P}$が

$\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|+\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=c$

を満たすとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】(1)　$a_0<b_0\text{，}{a}_1<b_1$を満たす正の実数$a_0\text{，}{b}_0\text{，}{a}_1\text{，}{b}_1$について，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{{b_1}^2}{{a_0}^2+1}}+{\displaystyle \frac{{a_1}^2}{{b_0}^2+1}}>{\displaystyle \frac{{a_1}^2}{{a_0}^2+1}}+{\displaystyle \frac{{b_1}^2}{{b_0}^2+1}}$

(2)　$n$個の自然数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$は互いに相異なり，

$1\leqq x_k\leqq n\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$

を満たしているとする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{x_k}^2}{k^2+1}}>n-{\displaystyle \frac{8}{5}}$

【４】　複素平面上で，$▵\mathrm{ABC}$の頂点を表す複素数を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が次の$3$条件を満たすとする．

１．$▵\mathrm{ABC}$は辺の長さ$\sqrt{3}$の正三角形である．

２．$\alpha +\beta +\gamma =3$

３．$\alpha \beta \gamma$は絶対値$1$で，虚数部は正

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　$z=\alpha -1$とおいて，$\beta$と$\gamma$を$z$を使って表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の偏角を求めよ．ただし$0°\leqq \arg \alpha \leqq \arg \beta \leqq \arg \gamma <360°$とする．

【５】　以下の問に答えよ．ただし，$\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}\text{，}\sqrt{6}$が無理数であることは使ってよい．

(1)　有理数$p\text{，}q\text{，}r$について，

$p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$

ならば，$p=q=r=0$であることを示せ．

(2)　実数係数の$2$次式

$f(x)=x^2+ax+b$

について，$f(1)\text{，}f(1+\sqrt{2})\text{，}f(\sqrt{3})$のいずれかは無理数であることを示せ．

【６】　$x\text{，}y$は$t$を媒介変数として，次のように表示されているものとする．

$x={\displaystyle \frac{3t-t^2}{t+1}}$

$y={\displaystyle \frac{3t^2-t^3}{t+1}}$

変数$t$が$0\leqq t\leqq 3$を動くとき，$x$と$y$の動く範囲をそれぞれ求めよ．さらに，この$(x,y)$が描くグラフが囲む図形と領域$y\geqq x$の共通部分の面積を求めよ．