2000　東京理科大学　薬学部MathJax

【１】　$3$つのサイコロを同時に投げるとき，すべて異なる目が出る事象を$\mathrm{A}\text{，}3$つのサイコロのうち少なくとも$1$つは$1$の目である事象を$\mathrm{B}$とする．次の問に答えなさい．

(1)　事象$\mathrm{A}$が起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　事象$\mathrm{B}$の余事象が起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}}$である．

(3)　事象$\mathrm{B}$が起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}}$である．

(4)　事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$が同時に起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

(5)　事象$\mathrm{B}$が起こったときの事象$\mathrm{A}$の起こる条件付き確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}}$である．

【２】　関数$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$について，次の問に答えなさい．

(1)　曲線$y=f(x)$は直線$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$に関して対称である．

(2)　関数$f(x)$は，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$で極大値をとり，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$で極小値をとる．したがって，$x$についての方程式$f(x)=b$が異なる$4$実数解をもつための条件は，$-\boxed{\text{ク}}<b<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}}$である．

(3)　直線$y=-1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

(4)　方程式$f(x)=3$の実数解は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

【３】　座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(3,2,1)\text{，}\mathrm{B}(2,3,-1)$を通る平面$\alpha$を考える．原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$へおろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問に答えなさい．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$で，点$\mathrm{P}$の$x$座標が正のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}})$である．このとき，平面d$\alpha$と$z$軸との交点を$\mathrm{Q}$すると，点$\mathrm{Q}$の座標は$(0,0,-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}})$である．そして，三角形$\mathrm{ABQ}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であるので，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$である．

(2)　平面$\alpha$を直線$\mathrm{AB}$を軸に回転させたとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が最大となる点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}},\boxed{\text{ニ}})$であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．