2000　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の問題(1)と(2)において，$\boxed{}$内の(ア)から(マ)にあてはまる$0$から$9$の数字を求めて，それを解答用マークシートの指定された行にマークせよ．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$\mathrm{A}(8,0)$は定点，$\mathrm{P}(x,y)$は動点とする．

(a)　$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=8$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡$C_1$を表す方程式は

$x^2-\boxed{\text{(ア)}\text{(イ)}}x+\boxed{\text{(ウ)}}{y}^2+\boxed{\text{(エ)}}y=0$

である．

(b)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=-64$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡$C_2$を表す方程式は，

$x+\boxed{\text{(オ)}}y+\boxed{\text{(カ)}}=0$

である．

(c)　$C_1$と$C_2$の両方に接する円は$2$つの種類に分けられる．第$1$種類の円の内部には，$C_1$の点が全く存在せず，第$2$の種類の円の内部には，$C_1$の点が存在する．

　第$1$種類の円の中心$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡$C_3$は放物線である．その焦点の座標は$(\boxed{\text{(キ)}},\boxed{\text{(ク)}})\text{，}$準線は$x+\boxed{\text{(ケ)}}y+\boxed{\text{(コ)}\text{(サ)}}=0$で，$C_3$を表す方程式は

$y^2-\boxed{\text{(シ)}\text{(ス)}}x-\boxed{\text{(セ)}\text{(ソ)}\text{(タ)}}=0$

である．また$C_3$の方程式を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を用いて書くと，

$\boxed{\text{(チ)}}|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{(ツ)}\text{(テ)}\text{(ト)}}$

である．

　第$2$の種類の円の中心$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡$C_4$を表す方程式は，

$y^2-\boxed{\text{(ナ)}\text{(ニ)}}x+\boxed{\text{(ヌ)}\text{(ネ)}}=0$

である．

【１】　次の問題(1)と(2)において，$\boxed{}$内の(ア)から(マ)にあてはまる$0$から$9$の数字を求めて，それを解答用マークシートの指定された行にマークせよ．

(2)　さいころは正$6$面体の各面に$1$から$6$までの数を一つずつ書き込んだものである．通常のさいころでは，中心に関して対称の位置にある二つの面の数の和が$7$になるようにしてある．したがって，さいころを転がして$1$が底面にあるように置けば，$6$は上面にくる．さらに，$1$が底面にあるようにしたまま適当に回転すれば，$2$が正面にあるようにすることができる．このとき，$3$の面が左にあるか，右にあるかを指定すれば，他の面の数は定まる．すなわち，正$6$面体の各面に$1$から$6$までの数字を書き込み，対称面に書かれてある数の和が$7$であるようにする書き方は，ちょうど$2$通りある．

　さて，この考え方にならって，正$n$面体の$n$個の面に$1$から$n$までの数を一つずつ書く相異なる書き方がいくつかあるかを考察すると，正$4$面体については$\boxed{\text{(ノ)}}$通り，正$6$面体については$\boxed{\text{(ハ)}\text{(ヒ)}}$通り，正$8$面体については$\boxed{\text{(フ)}\text{(ヘ)}\text{(ホ)}\text{(マ)}}$通りあることが分かる．（正$n$面体を転がしたり，回転したりすることにより同じになる数字の書き方は，同じ書き方とみなす．いいかえれば，各面に書かれる数の，互いの位置関係が同じものは同じ書き方とみなす．）

【２】　方程式$y^2=x^3-x$が表す曲線$C$を考察する．

(1)　関数$y=\sqrt{x^3-x}$について，次を求めよ．

(a)　$x$のとり得る値の範囲（定義域）

(b)　この関数が極大となる$x$の値

(c)　この関数のグラフの変曲点の$x$座標（求める答は，たとえば$\sqrt{{\displaystyle \frac{5+3\sqrt{7}}{2}}}$のように，根号を二重に含む数である．）

(2)　曲線$C$について，次を求めよ．

(a)　$C$と$x$軸の交点の座標

(b)　$y$軸に平行な$C$の接線

(3)　曲線$C$の概形を書け．

(4)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(a,b)\text{（}b>0\text{）}$における接線を$l_a$で表し，$l_a$と$C$の共有点を$\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(r,s)$とする．ただし$l_a$と$C$の共有点が$\mathrm{P}(a,b)$のみのときは，$\mathrm{P}(a,b)=\mathrm{Q}(r,s)$とする．このとき，$r$は$a$の関数となるので，$r=g(a)$とおく．

(a)　$g(a)$を求めよ．（ヒント：$l_a$と$C$の共有点の$x$座標が満たす方程式において，$x=a$は重解となっている．）

(b)　点$\mathrm{P}(a,b)\text{（}b>0\text{）}$が$C$上を動くとき，$g(a)$のとり得る値の範囲を求めよ．（ヒント：曲線$C$の概形と，関数$g(x)$の形から，$g(a)$のとり得る値の範囲を求めることができる．すなわち，$g^{\prime }(a)$を求めなくても答を得ることができる．）

【３】　最上部まで石油がつまった半径$10\mathrm{m}$の球形の石油タンクで事故が発生し，最低部に穴があいて石油が流出しはじめた．単位時間当たりの流出量は，底から油面までの高さの平方根に比例するという．事故発生からちょうど一日で半分の石油が流出した．このまま放置したときどれだけ時間ですべての石油が流出するか，次のようにして推定せよ．

(1)　油面の高さを$z\mathrm{m}$とするとき，残っている石油の体積$V{\mathrm{m}}^3$を求めよ．

(2)　事故発生後の経過時間を$t$日とする．上では$V$を$z$の関数として表したが，$V$を$t$の関数とみたとき，

${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=-k{z}^{\frac{1}{2}}$

という関係がなりたつ．この比例定数$k$がわかっているものとして，合成関数の微分の公式を用いて，$t$を$z$の関数とみなしたときの導関数${\displaystyle \frac{dt}{dz}}$を求めよ．

(3)　$t$を，$k$を含んだ形で，$z$の関数として表せ．

(4)　事故発生から約何日何時間後にすべての石油が流出するか．ただし，$\sqrt{2}=1.41$とする．（時間は，小数第$1$位で四捨五入して整数値で応えよ．）