2001　東京大学　後期MathJax

【１】　任意の自然数$n\geqq 2$に対して，常に不等式

$n-{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{k}{\sqrt{k^2-1}}}\geqq {\displaystyle \frac{i}{10}}$

が成立するような最大の整数$i$を求めよ．

【２】(1)　図$1$のように，等間隔$h$で格子状に互いに直交する$2$組の無数の平行線が引いてある平面が与えられている．その上に半径$1$の円$C$を無作為に落とすとき，この円がちょうど$2$本の線と交わる確率$p$を求めよ．

(2)　図$2$のように，半径$\sqrt{2}+1$の円が重複なく，かつ隣り合う円と接して無数に敷き詰められた平面がある．この上に半径$1$の円$C$を無作為に落とすとき，その円$C$が平面上のちょうど$3$つの円と交わる確率$q$を求めよ．

　ただし解答にあたり次のことを用いてよい．

　平面上に共に原点$\mathrm{O}$を始点とする一時独立な$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を考え，点$\mathrm{O}$と$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$の$3$つのベクトルの終点の$4$点を頂点とする平行四辺形を$E$とする．$E$の領域$F$に対して，$F$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の整数係数の一次結合$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$によって平行移動したもの全体の和集合を$D$とする．即ち記号で書くと

$D=\{\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}|\overrightarrow{x}\in F\text{，}m\in Z\text{，}n\in Z\}$

とおく．ここで$Z$は整数全体を表す．

　このとき平面に$1$点$\mathrm{P}$を無作為に落とすとき，その点が$D$内に落ちる確率は，$F$の面積の平行四辺形$E$の面積に対する比になっている．

図$1$	図$2$

【３】　整数を係数とする$2$次多項式$f(x)$で$2$次の項の係数が正であるものが与えられている．任意の実数$x$に対して，平面上の原点を中心とし半径が$1$である単位円$C$上の点$\mathrm{P}(x)$を

$\mathrm{P}(x)=(\cos 2\pi f(x),\sin 2\pi f(x))$

によって定める．円周$C$の弧$I$で長さが$L\text{（}0<L<2\pi \text{）}$であるものを固定する．そのとき各自然数$k$に対して区間$[k,k+1]$の部分集合

$\{x|k\leqq x\leqq k+1,\mathrm{P}(x)\in I\}$

は互いに交わらない有限個の和集合になっているので，それらの区間の長さの総和を$T_k$であらわす．このとき，

$\underset{k\to \infty }{\lim }{T}_k={\displaystyle \frac{L}{2\pi }}$

を証明せよ．